zastosowanie dystrybuanty w praktyce

kapka1a · Post autor: **kapka1a** » 22 lut 2008, o 19:54

Dostałem takie pytanie jak w temacie:-).

Proszę o pomoc jakie może być zastosowanie (praktyczne) dystrybuanty.

kadykianus · Post autor: **kadykianus** » 23 lut 2008, o 08:30

Dystrybuanta jest wygodna do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń. Oto przykład.
Powiedzmy, ze liczba nieobecności ucznia na lekcji matematyki w semestrze ma rozlad Poissona ze średnia 1.9 nieobecności na semestr.
Dalej, powiedzmy, ze uczen kapka1a mial tych nieobecności 4 w semestrze.
Dzieki dystrybuancie możemy obliczyć jak bardzo jest to prawdopodobne. Jesli 4 (lub wiecej) nieobecności jest malo prawdopodobne to możemy przypuszczać, ze te nieobecności ucznia kapki NIE byly przypadkowe i stad wnioskować, ze ma jakieś problemy chodzeniem na matme - na przykład wagaruje
Takie postępowanie nazywa sie statystycznym testowaniem hipotez. Pierwsza hipoteza mówi ze kapka nie wagaruje a jego nieobecność jest przypadkowa jak każdego innego ucznia a druga hipoteza mówi ze jego liczba nieobecności nie jest przypadkowa. Dystrybuanta rozkładu Poissona (w tym przypadku) umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa hipotezy pierwszej. Jeśli to prawdopodobieństwo jest wystarczająco małe, to odrzucamy te hipotezę i przyjmujemy drugą, mówiąca ze uczeń nieprzypadkowo opuszcza lekcje. Stad już wniosek na Rade

Peter Griffin · Post autor: **Peter Griffin** » 23 lut 2008, o 10:42

kadykianus, mógłbyś napisać jak wygląda dystrybuanta rozkładu Poissona, bo nie wiem jak to policzyć i jak dzięki niej efektywnie policzyć wspomniane prawdopodobieństwo.
Nie wiem też za bardzo jak liczyć to prawdopodobieństwo hipotezy pierwszej. Gdzieś czytałem, że to trzeba konstruować jakąś statystykę testową i zbiór odrzuceń hipotezy zerowej no i poziom istotności jakiegoś testu. Mógłbyś napisać proszę jak to będzie wyglądało w tym przykładzie co podałeś. Z góry dziękuje i pozdrawiam.

P.G.

kadykianus · Post autor: **kadykianus** » 23 lut 2008, o 12:13

To sie robi prosto.
Masz rozkład Poissona i wzor na ten rozklad. Srednia czyli parametr lambda tego rozkladu to 1.9.
Aby policzyc prawdopod. czterech i wiecej nieobecności to nalezy dodac do siebie prawdopodobieństwa ze będzie zero opuszczeń, 1,2 i 3 opuszczenia. Jak to dodasz do siebie to liczba ktora wyjdzie bedzie wartoscia dystrybuanty rozkladu Poissona w punkcie 3 bo wzor na dystrybuantę jest taki F(x) = P(X

Peter Griffin · Post autor: **Peter Griffin** » 23 lut 2008, o 13:56

Mniej więcej rozumiem ten przykład ale niestety nie o to mi chodziło, gdy pisałem jak wygląda dystrybuanta rozkładu Poissona. No bo weźmy takie dwa przykłady. Policzyć to samo zadanie ale dla rozkładu wykładniczego i geometrycznego, wtedy:
\(\displaystyle{ F(x)=1-e^{-\lambda x}\ \ \ =>\ \ \ F(3)=1-e^{-\lambda 3}}\)
\(\displaystyle{ F(k)=1-(1-p)^k\ \ \ =>\ \ \ F(3)=1-(1-p)^3}\)
Tu nie muszę się modlić o to żeby \(\displaystyle{ x}\) czy \(\displaystyle{ k}\) było odpowiednio małe, tak małe żebym umiał pododawać kolejne prawdopodobieństwa, bo w rzeczy samej nigdzie w podanym przykładzie nie skorzystałeś ze znajomości dystrybuanty rozkładu Poissona.
Mam jeszcze jedno pytanie. Załóżmy, że dostaję do ręki nową monetę. Rzucam cztery razy i wypadają cztery orły. Czy mogę na poziomie istotności 0.063 powiedzieć, że moneta jest niesymetryczna? Dzięki za odpowiedź. Pozdrawiam.

P.G.

kadykianus · Post autor: **kadykianus** » 23 lut 2008, o 15:30

Nie rozumiem Cie. Przecież napisałem jak zrobić to zadanie. Dystrybuantę możesz obliczyć ze wzoru albo dodając kolejne prawdopodobieństwa. Dystrybuanta nie jest po to zeby uzywac jej wzoru tylko zeby liczyc z niej prawdopodobieństwa zdarzeń. Jak chcesz mozesz liczyc ze wzoru na zamiast dodawac. To nie ma znaczenia. Byle wiedziec co to jest dystrubuanta i jak jej uzyc i kiedy.

Z tym testem z moneta to jest tak, ze hipoteza zerowa mowi, ze moneta jest uczciwa (symetryczna) a hipoteza alternatywna mowi ze nie jest. zatem obszar krytyczny jest obustronny bo takze 0 orlow bedzie wynikiem podejrzanym. Wiec Twoje 0,0625 mosisz pomnozyc razy 2 i wtedy nie mozesz n poziomie istotnosci 0,0625 odrzucic hipotezy zerowej (p-wartosc testu wynosi bowiem 2*0,0625>0,0625).
W przykladzie z uczniem nie mnozylismy wyniku 1-F(3) bo hipoteza alternatywna mowila ze uczen wagaruje czyli opuszcza wiecej niz srednio wiec test byl prawostronny a z moneta jest obustronny.
Jesli jednak hipoteza mowila by ze moneta PREFERUJE ORLY to test bylby prawostronny i na poziomie istotnosci 0,0625 moglbyc twierdzic, ze moneta jest falszywa.
Druga sprawa, ze taki test byłby slaby bo opierałby sie na 4 próbach i w praktyce nikt tak monet nie tstuje
Lepiej rzucac np 20 razy bo wtedy latwiej skonstruowac przedzial ufnosci dla liczby orlow na poziomie 0,05 (bedzie to od 6 do 14 orlow). A wogole to robi sie to tak, ze moneta sie rzuca 100 razy po 20 razy i wtedy robi test chi-kwadrat dla liczby orłow. Wtedy to jest porządna statystyka.