2 wymiarowa zmienna losowa ciągła [całka]

[Michu87]

Witam,
mam do obliczenia współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y. Dystrybuantą wektora losowego funkcji jest \(\displaystyle{ 1-e^{-x} -e^{-y}+e^{-x-y}}\) dla x>0 i y>0 (dla pozostałych przypadków dystrybuanta = 0). Wyliczyłem sobię funkcję gęstości (\(\displaystyle{ e^{x-y}}\)), później rozkłady brzegowe:
\(\displaystyle{ f_X(x)=e^{-x}}\) i \(\displaystyle{ f_Y(y)=e^{-y}}\)

Dochodzimy do współczynnika korelacji
\(\displaystyle{ \varrho= \frac{E(X,Y)-EX\cdot EY}{DX\cdot DY}}\)

\(\displaystyle{ EX = t\limits_{-\infty}^{\infty} x f(x)dx}\)
to f(x) oznacza tu funkcję gęstości, tak? czyli po podstawieniu będę miał:
\(\displaystyle{ EX = t\limits_{0}^{\infty} x e^{-x-y}}\)? a może powinienem tu podstawić rozkład brzegowy?
\(\displaystyle{ EX = t\limits_{0}^{\infty} x e^{-x}}\)

W rozwiązaniu mam (moim zdaniem błędnie) rozklad brzegowy i całkę przez części:
\(\displaystyle{ u=x}\) \(\displaystyle{ dv=e^{-x}dx}\)
\(\displaystyle{ du=dx}\) \(\displaystyle{ v=-e^{x}}\)
więc:
\(\displaystyle{ EX=[x e^{-x}]_0^{\infty}-\int\limits_{0}^{\infty} -e^{-x}dx = [x x^{-x}]_0^\infty - [e^{-x}]_0^\infty =-e^{-x} + e^0 = 1}\)
(itd)

Czy to dobre rozwiązanie? Jeśli tak, to dlaczego użyta jest rozkład brzegowy, a nie funkcja gęstości? No i, co mnie jeszcze bardziej zdziwiło, dlaczego w pierwszym czynniku (u*v, czyli \(\displaystyle{ x -e^{x}}\) użyte są warunki brzegowe (takie jak po całkowaniu)? Tak się zawsze robi? oO

Pozdrawiam

[sigma_algebra1]

Po pierwsze we współczynniku korelacji masz E(X,Y) zamiast E(XY), pewnie to pomyłka ale na wszelki wypadek zwracam uwagę .

We wzorze na E(X), f(x) oznacza owszem funkcję gęstości, ale zmiennej X czyli właśnie gęstość brzegową. Zauważ, że E(X) ma być liczbą, a w Twoim sposobie byłaby funkcją y.

Funkcję gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej, oznaczaną

\(\displaystyle{ f(x,y)=e^{-x-y}}\) (+ indykator, czyli na jakim zbiorze jest ta wartość, a na jakim zero) jeśli taka właśnie wychodzi, wykorzystasz przy obliczaniu E(XY), tam będziesz miał:

\(\displaystyle{ E(XY)=\int_{-\infty}^{\infty} t_{-\infty}^{\infty}xy f(x,y) dxdy}\)

[Michu87]

uhmmm... ;d teraz to już rozumiem, dzieki; a to \(\displaystyle{ [x \cdot x^{-x}]_{0}^{ \infty}}\) to jest \(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\), czyli symbol nieoznaczony, prawda? To znaczy, że bez reguły de L'Hospitala nie idzie tego wyliczyć?

P.S. Dzięki za poprawienie na E(XY)

[sigma_algebra1]

Coś Ci te minusy poprzeskakiwały, we wzorze na v w wykładniku oczywiście -x, ale dalej widzę dobrze , no i chyba nie x tylko e w tym nawiasie kwadratowym jako podstawa potęgi tak?

No można założyć że owa reguła się przyda, ale można też inaczej, możesz poczytać o funkcji gamma Eulera, może się czasami przydać do obliczania szybkiego takich całek. Twoja całka to ta
funkcja w punkcie 2 czyli \(\displaystyle{ \Gamma (2)=1!=1}\) szybciej, prawda ?

[Michu87]

hehe, faktycznie pokręciłem
dzięki Ci bardzo właśnie zaczynam naukę funkcji gamma Eulera