Policzyć prawdopod, że waga osób przekroczy wartość dpuszcz

styljola · Post autor: **styljola** » 6 gru 2007, o 10:04

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania

W windach osobowych znajduje się instrukcja następującej treści: „maksymalne obciążenie 7 osób lub 500 kg”. Zakładając, że waga pasażera ma rozkład N~(70,32), policzyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg.

Pozdrawiam

scyth · Post autor: **scyth** » 6 gru 2007, o 10:52

Zakładam, że 32 to wariancja. Wtedy:
jeżeli \(\displaystyle{ X_i: N(m_i, \sigma^2_i)}\)
to \(\displaystyle{ X=\sum_{i=1}^{n} X_i: N\left( \sum_{i=1}^{n} m_i, \sum_{i=1}^{n} \sigma^2_i \right)}\)

W naszym przypadku suma wag siedmiu osób należy do rozkładu:
\(\displaystyle{ N\left(490,224\right)}\)

Teraz przekształcam równanie tak, żeby móc skorzystać z tablic:
\(\displaystyle{ P (X>500) = 1 - P (X\le500) = 1-P\left(\frac{X-490}{\sqrt{224}} \frac{500-490}{\sqrt{224}}\right) =\\=
1 - P \left(\frac{X-490}{\sqrt{224}} 0,668\right) = 1 - \Phi (0,668) \approx 1-0,748=0,252}\)

styljola · Post autor: **styljola** » 6 gru 2007, o 10:57

Dziękuję
A czy mógłbyś zerknąc na jeszcze takie dwa?

1.Załóżmy, że czas przepisywania jednej strony pracy ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną m=15 min i odch.stand. sigma=3 min. Jeśli praca zawiera 100 stron, to jak długo należy oczekiwać na jej przepisanie? Jaki procent stron będzie przepisywany dłużej niż 20 minut?

2.Dochody z reklamy pewnego tygodnika mają rozkład normalny z wartością oczekiwaną 80 mln złotych tygodniowo i odch. Stand. 5 mln złotych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dochody z reklamy w pewnym tygodniu będą:
a) mniejsze niż 70 mln zł,
b) większe niż 85 mln zł,
c) większe niż 65 mnl zł i mniejsze niż 95 mnl zł?

Bo tutaj nie mamy podanej średniej jak w pierwszym tylko wartość oczekiwana.

scyth · Post autor: **scyth** » 6 gru 2007, o 11:25

Co do pierwszego zadania:
Zakładam, że 32 to odch. stand. Wtedy:
jeżeli \(\displaystyle{ X_i: N(m_i, \sigma_i)}\)
to \(\displaystyle{ X=\sum_{i=1}^{n} X_i: N\left( \sum_{i=1}^{n} m_i, \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sigma^2_i} \right)}\)

W naszym przypadku suma wag siedmiu osób należy do rozkładu:
\(\displaystyle{ N\left(490,32\sqrt{7}\right)}\)

Teraz przekształcam równanie tak, żeby móc skorzystać z tablic:
\(\displaystyle{ P (X>500) = 1 - P (X\le500) = 1-P\left(\frac{X-490}{32\sqrt{7}} \frac{500-490}{32\sqrt{7}}\right) =\\= 1 - P \left(\frac{X-490}{32\sqrt{7}} 0,118\right) = 1 - \Phi (0,118) \approx 1-0,547=0,453}\)
________________________________________________________________

Zadania robimy podobnie:
1.
\(\displaystyle{ X_i: N(15,3) \\
X=\sum_{i=1}^{100} X_i: N\left( \sum_{i=1}^{100} 15, \sqrt{\sum_{i=1}^{100} 9} \right) = N(1500,30)}\)
Wartość oczekiwana to 1500 minut, czyli 25 godzin.
Co do drugiego pytania to nie wiem dokładnie o co chodzi. Istnieje przecież prawdopodobieństwo (aczkolwiek bardzo małe) że każda ze stron będzie przepisywana dłużej niż 20 minut, jak i takie, że żadna.

2. \(\displaystyle{ X=N(80,5)}\)

a)
\(\displaystyle{ P(X<70)}\)
b)
\(\displaystyle{ P(X>85)=1-P(X \le 85)=1-P\left(\frac{X-80}{5} < \frac{85-80}{5} \right)=1-\Phi(1) \approx 0,16}\)
c)
\(\displaystyle{ P(65<X<95)=P(X<95) - P(X<65) = \\=
P\left(\frac{X-80}{5} < \frac{95-80}{5} \right) -
P\left(\frac{X-80}{5} < \frac{65-80}{5} \right) = \\ =
\Phi(3) - \Phi(-3) =1-2\cdot\Phi(-3) \approx 0,997}\)

styljola · Post autor: **styljola** » 6 gru 2007, o 11:58

jeżeli wzór wygląda następująco \(\displaystyle{ X \approx Z(�,\phi ^{2}}\)
to dlaczego wartośc odchylenie w drugiej wersji rozwiązania do pierwszego zadania jest
\(\displaystyle{ 32 \sqrt{7}}\)?

Już z 10 raz próbuje dodac odpowiedź do posta może tym razem mi się uda

scyth · Post autor: **scyth** » 6 gru 2007, o 12:05

ponieważ w pierwszym rozwiązaniu przyjąłem, że 32 to wariancja, a w drugim, że 32 to odchylenie standardowe.

styljola · Post autor: **styljola** » 6 gru 2007, o 12:15

Rozumiem czyli poprawanie będzie to z odchyleniem standardowym.

A czy analogicznie do tych poprzednich rozwiązuje się zadania typu:

Właściciel restauracji wie z doświadczenia, że tylko 70% klientów, którzy rezerwują stolik na wieczór przychodzi na kolację. Pewnego dnia właściciel zdecydował się przyjąć 20 rezerwacji, chociaż w restauracji jest tylko 15 stolików. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kolację zgłosi się więcej niż 15 klientów?

Bo tutaj znowu nie ma średniej i odchylenia standardowego?
Czy za średnią można przyjąć tą wartość 70% ?

scyth · Post autor: **scyth** » 6 gru 2007, o 12:21

tu musisz liczyć ze schematu bernoulliego.

styljola · Post autor: **styljola** » 6 gru 2007, o 12:34

To gorsza sprawa chodzi tu o rozkład dwumianowy?

scyth · Post autor: **scyth** » 6 gru 2007, o 12:49

mhm - przyjdzie albo nie przyjdzie.
ale nie jest tak źle: prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P_n(k)={n \choose k} p^k q^{n-k}}\)
W Twoim przypadku p=0,7 q=0,3 a szukasz sumy
\(\displaystyle{ P_{20} (16) + P_{20} (17) + P_{20} (18) + P_{20} (19) + P_{20} (20)}\)

styljola · Post autor: **styljola** » 6 gru 2007, o 14:14

Czy to dobrze rozwiązałam?

Tygodniową wielkość produkcji w fabryce można w przybliżeniu opisać rozkładem normalnym o średniej 134786 sztuk wyrobu i przy odchyleniu standardowym 13000 sztuk.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że tygodniowa wielkość produkcji przekroczy 150000 sztuk oraz prawdopodobieństwo, że spadnie poniżej 100000 sztuk.

\(\displaystyle{ � = 134 786\\
\phi = 13 000\\

P(X > 150 000)\\
X \approx N(134 786, 13000^{2} )\\

X = Z\phi + �\\
P(X > 150000) = P( X-�/\phi > 150000-�/\phi ) = P( Z > 150000 - 134786/13000) = P(Z > 1,170)\\

0,5 - 0,3790 = 0,121\\

P(X < 100000)\\
X \approx N(134 786,13000^{2})\\

X = Z\phi + �\\
P(X < 100000) = P( X-�/\phi > 100000-�/\phi ) = P( Z < 100000 - 134786/13000 ) = P(Z > -2,675)\\

0,5 - 0,4962 = 0,0038}\)

scyth · Post autor: **scyth** » 6 gru 2007, o 22:59

wygląda OK (choć są tam dziwne znaczki...).

styljola · Post autor: **styljola** » 7 gru 2007, o 08:15

to znaki większości i mniejszości coś mi nie wyszły

piotrecki · Post autor: **piotrecki** » 20 gru 2010, o 22:49

Mam pytanie odnośnie zadania związanego z właścicielem restauracji:
Tylko ja mam pytanie takie w tym zadaniu : Ile wynosi prawdopodobieństwo, że właściciel straci swoją wiarygodność w oczach choćby jednego klienta?

To pytamy się oto samo, czyli:
\(\displaystyle{ n=20}\), \(\displaystyle{ p=0,7}\)( sukces- klient, który zarezerwował stolik przyjdzie na kolację)
\(\displaystyle{ q=0,3}\)

\(\displaystyle{ P(S_{20} >15)=1-P(S_{20} \le 15)}\)( można skorzystać z tw. Poissona bo ,\(\displaystyle{ npq<9}\)).

Pytam się ponieważ , mam to zadanie w zestawie z zastosowanie tw. Poissona i CTG, ale w takim przypadku to lepiej obliczyć na piechotę , tak jak pokazał to scyth, dobrze myślę?
Bardzo proszę o odpowiedź.

scyth · Post autor: **scyth** » 21 gru 2010, o 09:41

piotrecki - tak, jeśli się da na piechotę, to lepiej nie przybliżać (chyba, że wyraźnie jest to nakazane).