Udowodnić,że estymatory rozkładu N są niezależnymi zmie

[Linka87]

Niech \(\displaystyle{ X_1,\dots ,X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
\(\displaystyle{ N(\mu, \sigma^2)}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \overline{X}={1\over n}\sum\limits_{i=1}^n X_i}\) oraz \(\displaystyle{ S^2={1\over n-1}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Może ktoś ma pomysł w ogóle jak to rozwiązać. Chociaż podpowiedź z jakiego twierdzenia można w tym zadaniu skorzystać. Z góry dzięki za jakąkolwiek pomoc.

[kuch2r]

Jezli, zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) sa niezalezne, to zachodzi:
\(\displaystyle{ E(X\cdot Y)=EX\cdot EY}\)
Jezeli zmienne losowe \(\displaystyle{ X_i\sim N(\mu,\sigma ^2)}\), to \(\displaystyle{ EX_i=\mu}\) dla kazdego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\)

[Linka87]

Znalazłam to twierdzenie. Jeśli się nie mylę \(\displaystyle{ E\overline{X}= \mu}\) , a \(\displaystyle{ ES^2= \sigma^2}\). To teraz trzeba rozwiązać \(\displaystyle{ E(\overline{X}S^2) = ?}\) i jak wyjdzie, że równa się \(\displaystyle{ \mu\si \sigma^2}\) to te zmienne są niezależne?

A jest jakiś inny sposób wykorzystujący macierz kowariancji i że coś \(\displaystyle{ D^2X}\) jest macierzą diagonalną taką, że \(\displaystyle{ \sigma^2I}\) ?(\(\displaystyle{ I}\) tutaj oznacza macierz jednostkową ). Coś takiego mi chodzi po głowie, ale nie mogłam żadnych twierdzeń znaleźć potwierdzających moich myśli.

[kuch2r]

Rozwazmy:
\(\displaystyle{ E\overline{X}=E(\frac{1}{n}\sum X_i)=\frac{1}{n} E\sum X_i=\frac{1}{n} \sum EX_i=EX_i=\mu}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ ES^2=E(\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\overline{X}))=\frac{1}{n-1}E(\sum X_i - \sum \overline{X})=\\=\frac{1}{n-1}(E\sum X_i - E\sum\overline{X})=\frac{1}{n-1}(\sum EX_i - \sum E\overline {X})=0}\)

Jesli \(\displaystyle{ E(\overline {X} S^2)=0}\) to zmienne sa niezalezne.

[andkom]

Zjadłaś kwadrat w definicji S^2.
To duuużo zmienia. W wersji bez kwadratu mamy po prostu S^2=0.
W wersji z kwadratem (czyli bez pomyłki) nie jest już tak łatwo, choćby dlatego, że wówczas S^2 nie ma rozkładu normalnego i nie wystarczy sprawdzić nieskorelowania.

[Linka87]

o matko masz rację

powinno być

Niech \(\displaystyle{ X_1,\dots ,X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
\(\displaystyle{ N(\mu, \sigma^2)}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \overline{X}={1\over n}\sum\limits_{i=1}^n X_i}\) oraz \(\displaystyle{ S^2={1\over n-1}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi.

ale nie chodzi mi raczej o samo rozwiązanie, tylko o sposób jak takie zadanie można rozwiązać...
dlaczego nie może to być z tego twierdzenia z wartością oczekiwaną?

[Janek Kos]

Nie wiem na jakim poziomie jesteś ze statystyki, bo jest twierdzenie, z którego można skorzystać w dowodzie i brzmi ono dosyć prosto. Jest to twierdzenie Basu (sprawdź jeszcze w necie) i mówi on, że jeżeli T jest statystyką dostateczną, zupełną a S jest statystyką swobodną, to T i S są niezależne. Trzeba tu pokazać, że S^2 jest dostateczną, zupełną a X jest swobodną statystyką. Oczywiście musisz wiedzieć czym są statystyki dostateczne i reszta założenia.

[Linka87]

dobra, znalazłam te definicje.

i statystyka swobodna jest wtedy gdy jej rozkład nie zależy od tety.

czyli trzeba pokazać , że wartość oczekiwana \(\displaystyle{ S^2}\) nie zależy od tety?

mi wyszło , że \(\displaystyle{ ES^2 = \sigma^2}\)

czyli?

że średnia jest statystyką dostateczną to umiem pokazać.