Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie

[Hoid]

Hej, jest jedno zadanie, które mnie intryguje, wydawało mi się, że wiem, jak je rozwiązać, ale wynik nie zgadza się z oczekiwanym. Oto ono:

Klient supermarketu z prawdopodobieństwem 0,2 płaci kartą i wtedy czas obsługi ma rozkład wykładniczy z parametrem 1; z prawdopodobieństwem 0,8 płaci gotówką, wtedy czas obsługi ma rozkład jednostajny na przedziale [0,2]. Jaka jest szansa, że w ciągu 4 godzin uda się obsłużyć 250 lub więcej klientów?

Wydawało się, że skoro liczba prób musi być z góry znana, żebym mógł zastosować CLT, to mogę przyjąć, że \(\displaystyle{ P(N \ge 250) \Leftrightarrow P( \sum_{1}^{250}T_i < 240) }\), tj., aby liczba klientów w czasie 4h była większa niż 250, to suma czasów obsługi pierwszych 250 klientów musi być mniejsza niż 4h (240 min). Jednak, po obliczeniu wartości oczekiwanej oraz odchylenia standardowego, oraz zastosowaniu CLT, wynik się nie zgadza, więc gdzieś popełniam błąd w rozumowaniu albo rachunkach, ktoś podpowie, jak to prawidłowo ugryźć?

[janusz47]

Twoje rozumowanie jest poprawne. Brakuje kreski nad \(\displaystyle{ T_{i}}\) (średniego czasu obsługi) czyli \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{250} \overline{T}_{i} \leq 240. }\)

Pokaż swoje dalsze obliczenia na zastosowanie CTG.

[Hoid]

@janusz47, więc po tych wstępnych założeniach moje dalsze obliczenia wyglądały następująco:

\(\displaystyle{ \overline{T_t} = \sum_{i=1}^{250}T_i}\)
\(\displaystyle{ E(\overline{T_t}) = \sum_{i=1}^{250}E(T_i) = \sum_{i=1}^{250}E(E(T_i|I)) = \sum_{i=1}^{250}E(I*1 + (1-I)*1) =250}\)
\(\displaystyle{ Cov(T_i,T_j)=0}\), więc: \(\displaystyle{ Var(\overline{T_t})= Var(\sum_{i=1}^{250}T_i) = \sum_{i=1}^{250}Var(T_i) = \sum_{i=1}^{250}[E(Var(T_i|I)) + Var(E(T_i|I))] = \sum_{i=1}^{250}[E(I + (1-I)(1/3)) + Var(1)] = \sum_{i=1}^{250}E((2/3)I + (1/3)) = (350/3) }\)
\(\displaystyle{ SD(\overline{T_t}) = \sqrt{(350/3)}}\)

i dalej,

\(\displaystyle{ P(\overline{T_t} \le 240) = P(\overline{T_t} - E(\overline{T_t}) \le -10) = P(\frac{\overline{T_t} - E(\overline{T_t})}{SD(\overline{T_t})}) \le \frac{-10}{\sqrt(350/3)})}\)

[janusz47]

Jaki jest średni czas obsługi \(\displaystyle{ \overline{T}_{i} }\) jednego klienta supermarketu, gdy płaci kartą lub gotówką?

[Hoid]

Wg. mnie \(\displaystyle{ E(\overline{T_i}) = E(\overline{T_i}|I=1)P(I=1) + E(\overline{T_i}|I=0)P(I=0) = 1\cdot\frac{2}{10} + 1\cdot\frac{8}{10} = 1}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) - wskaźnik, że klient płaci kartą

[janusz47]

Doświadczenie losowe:

Klient \(\displaystyle{ \mathcal {K}_{i} , \ \ i=1,2,3,..., 250 }\) wchodzi do supermarketu robi zakupy i płaci:

- kartą z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0, 2 }\) i wtedy i wtedy czas jego obsługi w minutach ma rozkład wykładniczy z

parametrem \(\displaystyle{ \lambda = 1 :}\)

\(\displaystyle{ \Pr(\{ O|K)\}) = \int_{0}^{T_{K}} 1\cdot e^{-1\cdot t} \cdot dt = 0,2, }\)

stąd

\(\displaystyle{ T_{K} = \ \ ... min.}\)

lub

- gotówką z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,8 }\) i wtedy czas jego obsługi ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0, 2min]: }\)

\(\displaystyle{ \Pr(\{O|G\}) = \int_{0}^{T_{G}} \frac{1}{2-0} dt = 0,8, }\)

stąd

\(\displaystyle{ T_{G} = \ \ ... min. }\)


Średni czas obsługi \(\displaystyle{ \overline{T}_{i} }\) każdego klienta jest sumą czasów \(\displaystyle{ T_{K} }\) i \(\displaystyle{ T_{G}. }\)

[Hoid]

Przepraszam, ale jeżeli dobrze rozumiem, to w obu przypadkach wartość oczekiwana się zgadza, jednak ja odniosłem się do \(\displaystyle{ E(X)=E(E(X|Y))}\), zamiast do funkcji gęstości, żeby ją obliczyć. Przykro mi, ale nadal nie rozumiem, gdzie popełniam błąd w samym CTG.

[janusz47]

Co to znaczy w obu przypadkach wartość oczekiwana się zgadza? W jakich przypadkach? Jak się ma równość \(\displaystyle{ E(X)=E(E(X|Y)) }\) do

rozwiązania tego zadania ?

[Hoid]

Chodziło mi o to, że wartość oczekiwana / średnia czasu obsługi pojedynczego klienta wynosi 1, co widać po zastosowaniu wzoru na całkowitą wartość oczekiwaną, dzięki znajomości wartości oczekiwanych rozkładu jednostajnego i wykładniczego. Nie wydaje mi się, że musieliśmy odnosić się do opisu doświadczenia losowego i funkcji gęstości, żeby to zobaczyć, chyba, że mylę się co do ostatecznego wyniku. Zgadzam się jednak, że samo obliczenie wartości oczekiwanej, niezależnie od "sposobu", nie jest samo w sobie rozwiązaniem zadania, ale jego składnikiem CTG. Nie rozumiem jednak gdzie popełniam błąd w rozumowaniu, lub obliczeniach, który prowadzi do błędnego wyniku.

Jeszcze raz przedstawię o co mi chodziło.

Jak założyłem na początku, żeby udało się obsłużyć \(\displaystyle{ \ge 250 }\) klientów w ciągu 4 godzin, czas obsługi wszystkich 250-ciu musi być mniejszy niż 240 minut:

\(\displaystyle{ P( \sum_{1}^{250}T_i \le 240)}\)

co daje nam:

\(\displaystyle{ P(\frac{\sum_{1}^{250}T_i}{n} \le \frac{24}{25})}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sum_{1}^{250}T_i}{n}}\) jest średnią z próby 250 klientów, więc oznaczam to sobie \(\displaystyle{ \overline{T_i}}\).

Wiemy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ T_i}\), \(\displaystyle{ E(T_i)}\), wynosi 1, na podstawie tego co napisałeś, lub na podstawie wzoru na całkowitą wartość oczekiwaną, więc \(\displaystyle{ \mu = E(T_i) = 1}\).

Daje nam to:

\(\displaystyle{ P(\frac{\sum_{1}^{250}T_i}{n} - \mu \le \frac{-1}{25}) = P(\overline{T_i} - \mu \le \frac{-1}{25})}\)

Ze wzoru na całkowitą wariancję obliczam wariancję \(\displaystyle{ T_i}\):

\(\displaystyle{ \sigma^2 = Var(T_i) = E(Var(T_i|I)) + Var(E(T_i|I)) = E(I + (1-I)\frac{1}{3}) = E(\frac{2}{3}I + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}E(I) + \frac{1}{3}}\)

gdzie \(\displaystyle{ I}\) - zmienna losowa wskazująca czy klient płaci kartą, \(\displaystyle{ I \sim Bern(\frac{2}{10})}\), więc:

\(\displaystyle{ \sigma^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{10} + \frac{1}{3} = \frac{7}{15}}\), więc:

\(\displaystyle{ \sigma = SD(T_i) = \sqrt{\frac{7}{15}}}\), co dalej daje zgodnie z CTG:

\(\displaystyle{ P(\frac{\overline{T_i} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le \frac{-\sqrt{10} \cdot \sqrt{15}}{5 \cdot \sqrt{7}}) \approx \Phi(-0.926) = 1 - \Phi(0.926) }\)

[janusz47]

Średnia wartość obsługi jednego klienta \(\displaystyle{ \overline{T}_{i} }\) nie wynosi \(\displaystyle{ 1}\) minutę.

[Hoid]

Cześć, niestety, albo mówimy o czymś innym, bo używam źle terminologii, albo się mylisz, znalazłem potwierdzenie rozwiązania tego zadania w książce, więc wszystko się rozwiązało, błąd tkwił w moich obliczeniach dot. wariancji.

Wartość oczekiwana czasu obsługi pojedynczego klienta wynosi 1 minutę, zgodnie ze wzorem na całkowitą wartość oczekiwaną:

\(\displaystyle{ E(T_i)=E(E(T_i|I))}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) - wskaźnik, że klient płaci kartą. To daje nam, jak już wcześniej rozpisałem:

\(\displaystyle{ E(T_i)=E(E(T_i|I))=1 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.8 = 1}\)

Muszę popracować nad zastosowaniem wzoru na wariancję całkowitą, bo coś schrzaniłem. Wg. poprawnej odpowiedzi można również skorzystać z powyższej własności warunkowej wartości oczekiwane, nie odnosząc się do wzoru na wariancję całkowitą, żeby uzyskać:

\(\displaystyle{ E(T_i^2)=E(E(T_i^2|I))}\)

a stąd już łatwo obliczyć wariancję, odchylenie standardowe i zastosować CTG.

Dzięki za próbę pomocy, wszystko jest już jasne! Miłego dnia!

[janusz47]

Mógłbyś podać autora i tytuł książki ?

[Hoid]

Jasne, mówię o tej książce: Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel

obrazek-matematyka.jpg (41.67 KiB) Przejrzano 443 razy

[janusz47]

Nie kłam !