Wydawało się, że skoro liczba prób musi być z góry znana, żebym mógł zastosować CLT, to mogę przyjąć, że \(\displaystyle{ P(N \ge 250) \Leftrightarrow P( \sum_{1}^{250}T_i < 240) }\), tj., aby liczba klientów w czasie 4h była większa niż 250, to suma czasów obsługi pierwszych 250 klientów musi być mniejsza niż 4h (240 min). Jednak, po obliczeniu wartości oczekiwanej oraz odchylenia standardowego, oraz zastosowaniu CLT, wynik się nie zgadza, więc gdzieś popełniam błąd w rozumowaniu albo rachunkach, ktoś podpowie, jak to prawidłowo ugryźć?Klient supermarketu z prawdopodobieństwem 0,2 płaci kartą i wtedy czas obsługi ma rozkład wykładniczy z parametrem 1; z prawdopodobieństwem 0,8 płaci gotówką, wtedy czas obsługi ma rozkład jednostajny na przedziale [0,2]. Jaka jest szansa, że w ciągu 4 godzin uda się obsłużyć 250 lub więcej klientów?
Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Hej, jest jedno zadanie, które mnie intryguje, wydawało mi się, że wiem, jak je rozwiązać, ale wynik nie zgadza się z oczekiwanym. Oto ono:
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Twoje rozumowanie jest poprawne. Brakuje kreski nad \(\displaystyle{ T_{i}}\) (średniego czasu obsługi) czyli \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{250} \overline{T}_{i} \leq 240. }\)
Pokaż swoje dalsze obliczenia na zastosowanie CTG.
Pokaż swoje dalsze obliczenia na zastosowanie CTG.
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
@janusz47, więc po tych wstępnych założeniach moje dalsze obliczenia wyglądały następująco:
\(\displaystyle{ \overline{T_t} = \sum_{i=1}^{250}T_i}\)
\(\displaystyle{ E(\overline{T_t}) = \sum_{i=1}^{250}E(T_i) = \sum_{i=1}^{250}E(E(T_i|I)) = \sum_{i=1}^{250}E(I*1 + (1-I)*1) =250}\)
\(\displaystyle{ Cov(T_i,T_j)=0}\), więc: \(\displaystyle{ Var(\overline{T_t})= Var(\sum_{i=1}^{250}T_i) = \sum_{i=1}^{250}Var(T_i) = \sum_{i=1}^{250}[E(Var(T_i|I)) + Var(E(T_i|I))] = \sum_{i=1}^{250}[E(I + (1-I)(1/3)) + Var(1)] = \sum_{i=1}^{250}E((2/3)I + (1/3)) = (350/3) }\)
\(\displaystyle{ SD(\overline{T_t}) = \sqrt{(350/3)}}\)
i dalej,
\(\displaystyle{ P(\overline{T_t} \le 240) = P(\overline{T_t} - E(\overline{T_t}) \le -10) = P(\frac{\overline{T_t} - E(\overline{T_t})}{SD(\overline{T_t})}) \le \frac{-10}{\sqrt(350/3)})}\)
\(\displaystyle{ \overline{T_t} = \sum_{i=1}^{250}T_i}\)
\(\displaystyle{ E(\overline{T_t}) = \sum_{i=1}^{250}E(T_i) = \sum_{i=1}^{250}E(E(T_i|I)) = \sum_{i=1}^{250}E(I*1 + (1-I)*1) =250}\)
\(\displaystyle{ Cov(T_i,T_j)=0}\), więc: \(\displaystyle{ Var(\overline{T_t})= Var(\sum_{i=1}^{250}T_i) = \sum_{i=1}^{250}Var(T_i) = \sum_{i=1}^{250}[E(Var(T_i|I)) + Var(E(T_i|I))] = \sum_{i=1}^{250}[E(I + (1-I)(1/3)) + Var(1)] = \sum_{i=1}^{250}E((2/3)I + (1/3)) = (350/3) }\)
\(\displaystyle{ SD(\overline{T_t}) = \sqrt{(350/3)}}\)
i dalej,
\(\displaystyle{ P(\overline{T_t} \le 240) = P(\overline{T_t} - E(\overline{T_t}) \le -10) = P(\frac{\overline{T_t} - E(\overline{T_t})}{SD(\overline{T_t})}) \le \frac{-10}{\sqrt(350/3)})}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Jaki jest średni czas obsługi \(\displaystyle{ \overline{T}_{i} }\) jednego klienta supermarketu, gdy płaci kartą lub gotówką?
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Wg. mnie \(\displaystyle{ E(\overline{T_i}) = E(\overline{T_i}|I=1)P(I=1) + E(\overline{T_i}|I=0)P(I=0) = 1\cdot\frac{2}{10} + 1\cdot\frac{8}{10} = 1}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) - wskaźnik, że klient płaci kartą
Ostatnio zmieniony 14 lip 2022, o 11:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Doświadczenie losowe:
Klient \(\displaystyle{ \mathcal {K}_{i} , \ \ i=1,2,3,..., 250 }\) wchodzi do supermarketu robi zakupy i płaci:
- kartą z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0, 2 }\) i wtedy i wtedy czas jego obsługi w minutach ma rozkład wykładniczy z
parametrem \(\displaystyle{ \lambda = 1 :}\)
\(\displaystyle{ \Pr(\{ O|K)\}) = \int_{0}^{T_{K}} 1\cdot e^{-1\cdot t} \cdot dt = 0,2, }\)
stąd
\(\displaystyle{ T_{K} = \ \ ... min.}\)
lub
- gotówką z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,8 }\) i wtedy czas jego obsługi ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0, 2min]: }\)
\(\displaystyle{ \Pr(\{O|G\}) = \int_{0}^{T_{G}} \frac{1}{2-0} dt = 0,8, }\)
stąd
\(\displaystyle{ T_{G} = \ \ ... min. }\)
Średni czas obsługi \(\displaystyle{ \overline{T}_{i} }\) każdego klienta jest sumą czasów \(\displaystyle{ T_{K} }\) i \(\displaystyle{ T_{G}. }\)
Klient \(\displaystyle{ \mathcal {K}_{i} , \ \ i=1,2,3,..., 250 }\) wchodzi do supermarketu robi zakupy i płaci:
- kartą z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0, 2 }\) i wtedy i wtedy czas jego obsługi w minutach ma rozkład wykładniczy z
parametrem \(\displaystyle{ \lambda = 1 :}\)
\(\displaystyle{ \Pr(\{ O|K)\}) = \int_{0}^{T_{K}} 1\cdot e^{-1\cdot t} \cdot dt = 0,2, }\)
stąd
\(\displaystyle{ T_{K} = \ \ ... min.}\)
lub
- gotówką z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,8 }\) i wtedy czas jego obsługi ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0, 2min]: }\)
\(\displaystyle{ \Pr(\{O|G\}) = \int_{0}^{T_{G}} \frac{1}{2-0} dt = 0,8, }\)
stąd
\(\displaystyle{ T_{G} = \ \ ... min. }\)
Średni czas obsługi \(\displaystyle{ \overline{T}_{i} }\) każdego klienta jest sumą czasów \(\displaystyle{ T_{K} }\) i \(\displaystyle{ T_{G}. }\)
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Przepraszam, ale jeżeli dobrze rozumiem, to w obu przypadkach wartość oczekiwana się zgadza, jednak ja odniosłem się do \(\displaystyle{ E(X)=E(E(X|Y))}\), zamiast do funkcji gęstości, żeby ją obliczyć. Przykro mi, ale nadal nie rozumiem, gdzie popełniam błąd w samym CTG.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Co to znaczy w obu przypadkach wartość oczekiwana się zgadza? W jakich przypadkach? Jak się ma równość \(\displaystyle{ E(X)=E(E(X|Y)) }\) do
rozwiązania tego zadania ?
rozwiązania tego zadania ?
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Chodziło mi o to, że wartość oczekiwana / średnia czasu obsługi pojedynczego klienta wynosi 1, co widać po zastosowaniu wzoru na całkowitą wartość oczekiwaną, dzięki znajomości wartości oczekiwanych rozkładu jednostajnego i wykładniczego. Nie wydaje mi się, że musieliśmy odnosić się do opisu doświadczenia losowego i funkcji gęstości, żeby to zobaczyć, chyba, że mylę się co do ostatecznego wyniku. Zgadzam się jednak, że samo obliczenie wartości oczekiwanej, niezależnie od "sposobu", nie jest samo w sobie rozwiązaniem zadania, ale jego składnikiem CTG. Nie rozumiem jednak gdzie popełniam błąd w rozumowaniu, lub obliczeniach, który prowadzi do błędnego wyniku.
Jeszcze raz przedstawię o co mi chodziło.
Jak założyłem na początku, żeby udało się obsłużyć \(\displaystyle{ \ge 250 }\) klientów w ciągu 4 godzin, czas obsługi wszystkich 250-ciu musi być mniejszy niż 240 minut:
\(\displaystyle{ P( \sum_{1}^{250}T_i \le 240)}\)
co daje nam:
\(\displaystyle{ P(\frac{\sum_{1}^{250}T_i}{n} \le \frac{24}{25})}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{1}^{250}T_i}{n}}\) jest średnią z próby 250 klientów, więc oznaczam to sobie \(\displaystyle{ \overline{T_i}}\).
Wiemy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ T_i}\), \(\displaystyle{ E(T_i)}\), wynosi 1, na podstawie tego co napisałeś, lub na podstawie wzoru na całkowitą wartość oczekiwaną, więc \(\displaystyle{ \mu = E(T_i) = 1}\).
Daje nam to:
\(\displaystyle{ P(\frac{\sum_{1}^{250}T_i}{n} - \mu \le \frac{-1}{25}) = P(\overline{T_i} - \mu \le \frac{-1}{25})}\)
Ze wzoru na całkowitą wariancję obliczam wariancję \(\displaystyle{ T_i}\):
\(\displaystyle{ \sigma^2 = Var(T_i) = E(Var(T_i|I)) + Var(E(T_i|I)) = E(I + (1-I)\frac{1}{3}) = E(\frac{2}{3}I + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}E(I) + \frac{1}{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ I}\) - zmienna losowa wskazująca czy klient płaci kartą, \(\displaystyle{ I \sim Bern(\frac{2}{10})}\), więc:
\(\displaystyle{ \sigma^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{10} + \frac{1}{3} = \frac{7}{15}}\), więc:
\(\displaystyle{ \sigma = SD(T_i) = \sqrt{\frac{7}{15}}}\), co dalej daje zgodnie z CTG:
\(\displaystyle{ P(\frac{\overline{T_i} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le \frac{-\sqrt{10} \cdot \sqrt{15}}{5 \cdot \sqrt{7}}) \approx \Phi(-0.926) = 1 - \Phi(0.926) }\)
Jeszcze raz przedstawię o co mi chodziło.
Jak założyłem na początku, żeby udało się obsłużyć \(\displaystyle{ \ge 250 }\) klientów w ciągu 4 godzin, czas obsługi wszystkich 250-ciu musi być mniejszy niż 240 minut:
\(\displaystyle{ P( \sum_{1}^{250}T_i \le 240)}\)
co daje nam:
\(\displaystyle{ P(\frac{\sum_{1}^{250}T_i}{n} \le \frac{24}{25})}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{1}^{250}T_i}{n}}\) jest średnią z próby 250 klientów, więc oznaczam to sobie \(\displaystyle{ \overline{T_i}}\).
Wiemy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ T_i}\), \(\displaystyle{ E(T_i)}\), wynosi 1, na podstawie tego co napisałeś, lub na podstawie wzoru na całkowitą wartość oczekiwaną, więc \(\displaystyle{ \mu = E(T_i) = 1}\).
Daje nam to:
\(\displaystyle{ P(\frac{\sum_{1}^{250}T_i}{n} - \mu \le \frac{-1}{25}) = P(\overline{T_i} - \mu \le \frac{-1}{25})}\)
Ze wzoru na całkowitą wariancję obliczam wariancję \(\displaystyle{ T_i}\):
\(\displaystyle{ \sigma^2 = Var(T_i) = E(Var(T_i|I)) + Var(E(T_i|I)) = E(I + (1-I)\frac{1}{3}) = E(\frac{2}{3}I + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}E(I) + \frac{1}{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ I}\) - zmienna losowa wskazująca czy klient płaci kartą, \(\displaystyle{ I \sim Bern(\frac{2}{10})}\), więc:
\(\displaystyle{ \sigma^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{10} + \frac{1}{3} = \frac{7}{15}}\), więc:
\(\displaystyle{ \sigma = SD(T_i) = \sqrt{\frac{7}{15}}}\), co dalej daje zgodnie z CTG:
\(\displaystyle{ P(\frac{\overline{T_i} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le \frac{-\sqrt{10} \cdot \sqrt{15}}{5 \cdot \sqrt{7}}) \approx \Phi(-0.926) = 1 - \Phi(0.926) }\)
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Cześć, niestety, albo mówimy o czymś innym, bo używam źle terminologii, albo się mylisz, znalazłem potwierdzenie rozwiązania tego zadania w książce, więc wszystko się rozwiązało, błąd tkwił w moich obliczeniach dot. wariancji.
Wartość oczekiwana czasu obsługi pojedynczego klienta wynosi 1 minutę, zgodnie ze wzorem na całkowitą wartość oczekiwaną:
\(\displaystyle{ E(T_i)=E(E(T_i|I))}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) - wskaźnik, że klient płaci kartą. To daje nam, jak już wcześniej rozpisałem:
\(\displaystyle{ E(T_i)=E(E(T_i|I))=1 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.8 = 1}\)
Muszę popracować nad zastosowaniem wzoru na wariancję całkowitą, bo coś schrzaniłem. Wg. poprawnej odpowiedzi można również skorzystać z powyższej własności warunkowej wartości oczekiwane, nie odnosząc się do wzoru na wariancję całkowitą, żeby uzyskać:
\(\displaystyle{ E(T_i^2)=E(E(T_i^2|I))}\)
a stąd już łatwo obliczyć wariancję, odchylenie standardowe i zastosować CTG.
Dzięki za próbę pomocy, wszystko jest już jasne! Miłego dnia!
Wartość oczekiwana czasu obsługi pojedynczego klienta wynosi 1 minutę, zgodnie ze wzorem na całkowitą wartość oczekiwaną:
\(\displaystyle{ E(T_i)=E(E(T_i|I))}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) - wskaźnik, że klient płaci kartą. To daje nam, jak już wcześniej rozpisałem:
\(\displaystyle{ E(T_i)=E(E(T_i|I))=1 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.8 = 1}\)
Muszę popracować nad zastosowaniem wzoru na wariancję całkowitą, bo coś schrzaniłem. Wg. poprawnej odpowiedzi można również skorzystać z powyższej własności warunkowej wartości oczekiwane, nie odnosząc się do wzoru na wariancję całkowitą, żeby uzyskać:
\(\displaystyle{ E(T_i^2)=E(E(T_i^2|I))}\)
a stąd już łatwo obliczyć wariancję, odchylenie standardowe i zastosować CTG.
Dzięki za próbę pomocy, wszystko jest już jasne! Miłego dnia!
Re: Centralne Twierdzenie Graniczne - zadanie
Jasne, mówię o tej książce: Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel