Wartość modalna

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
hutsalo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 141
Rejestracja: 14 sty 2022, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy

Wartość modalna

Post autor: hutsalo »

Zadanie:
Wyznacz wartość modalną zmiennej losowej X(najbardziej prawdopodobną wartością zmiennej losowej) o dwumianowym rozkładzie prawdopodobieństwa
Wiem że dwumianowy rozkład to rozkład prawdopodobieństwa, który opisuje liczbe sukcesów przy określonej ilości prób przy stałym prawdopodobieństwie sukcesu. Wzór tego prawdopodobieństwa to:
\(\displaystyle{
P\left( X = K\right) = \left( \frac{n}{k} \right) \cdot p^{k} \cdot \left( 1 - p\right)^{n-k}
}\)
. Natomiast dominanta to nic innego jak najczęściej powtarzająca się wartość. Wzór na to jest następujący:
\(\displaystyle{
D = X + \frac{ n_{d} - n_{d-1} }{\left( n_{d} - n_{d+1}\right) + \left( n_{d} - n_{d-1}\right)} \cdot h
}\)

I teraz moje pytanie. Jak mogę wyznaczyć tą wartość modalną zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym. Wiem że rozkład dwumianowy charakteryzuje się takimi własnościami jak wariancja i wartość oczekiwana. Czyli muszę wyliczyć wyliczyć wartość oczekiwaną lub wariancje potem podstawić to do wzoru na rozkład dwumianowy i wyliczyć tą wartość modalną?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wartość modalna

Post autor: janusz47 »

Modą Mo lub dominantą zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) nazywamy:

1. w przypadku zmiennej losowej skokowej - wartość zmiennej losowej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo,

2. w przypadku zmennej lowowej ciągłej - wartość dla której gęstość przyjmuje maksimum lokalne.

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) o rozkładzie dwumianowym jest zmienną losową skokową wyznaczymy maksymalną wartość prawdioidobieństwa

Ustalmy dowolnie watości \(\displaystyle{ n, k }\) i zbadajmy przy jakiej wartości \(\displaystyle{ p, \ \ 0< p < 1 }\) prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{n,k}}\) osiągnie wartość największą.

Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{n,k} = {n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k} }\) przy zmiennym \(\displaystyle{ p }\) można traktować jako funkcję tej zmiennej.

Funkcja ta przyjmuje na krańcach przedziału \(\displaystyle{ \langle 0, 1 \rangle }\) wartość zero, a pnieważ jest ciągła, więc osiąga swój kres górny w pewnym punkcie wewnętrznym tego przedziału.

Dla uproszczenia rachunków zajmiemy się rozważeniem funkcji

\(\displaystyle{ f(p) = p^{k}(1-p)^{n-k} }\), która jak i funkcja \(\displaystyle{ P_{n,k} }\) ma ekstremum jednocześnie z funkcją

\(\displaystyle{ \log[f(p)] = k\log(p) +(n-k)\log(1-p) }\) (po zlogarytmowaniu funkcji \(\displaystyle{ f(p)). }\)

Obliczając pochodną logarytmiczną, otrzymujemy

\(\displaystyle{ \frac{f'(p)}{f(p)} = \frac{k}{p} - \frac{n-k}{1-p} }\)

Pochodna zeruje się, gdy

\(\displaystyle{ f'(p) = f(p)\frac{k\cdot (1-p)-(n-k)\cdot p}{p\cdot (1-p)}= f(p)\frac{k -kp -np +kp}{p\cdot(1-p)} = f(p)\frac{k -np}{p\cdot (1-p)} = 0 }\)

\(\displaystyle{ k -n\cdot p = 0, \ \ p_{0} = \frac{k}{n}.}\)

Pozostało sprawdzenie, że funkcja \(\displaystyle{ f(p) }\) osiąga maksimum lokalne dla wartości \(\displaystyle{ p_{0} }\)

W tym celu posłużymy się testem drugiej pochodnej istnienia ekstremum lokalnego.

\(\displaystyle{ f''(p_{0}) = f'(p_{0}) \cdot \frac{k-np_{0}}{p_{0}\cdot (1-p_{0})} + f(p_{0}) \cdot \frac{-np_{0}\cdot (1-p_{0}) - (k- np_{0})[(1-p_{0})- p_{0}]}{[p_{0}\cdot (1-p_{0})]^2} = f(p_{0})\cdot \frac{-np_{0} +np^2_{0}-(k-np_{0})\cdot (1-p_{0})+(k-np_{0}))\cdot p_{0}}{[p_{0}\cdot(1-p_{0})]^2}}\)

\(\displaystyle{ f''(p_{0}) = f(p_{0}) \cdot\frac{-np_{0}+np^2_{0}-k +kp_{0} +np_{0} -np^2_{0}+kp_{0}-np^2_{0}}{[p_{0}\cdot (1-p_{0})]^2} = f(p_{0})\cdot \frac{-np^2_{0} +2kp_{0} -k}{[p_{0}\cdot (1-p_{0})]^2} }\)

Kładąc \(\displaystyle{ p_{0} = \frac{k}{n} }\)

Otrzymujemy

\(\displaystyle{ f''\left(\frac{k}{n}\right) = f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{-\frac{k^2}{n} + 2\frac{k^2}{n} -k}{\left[\frac{k}{n}\left(1- \frac{k}{n}\right)\right]} }\)

\(\displaystyle{ sgn f''\left(\frac{k}{n}\right) = sgn\left(\frac{k^2}{n}-k\right) = sgn \left( \frac{k^2-nk}{n}\right) = sgn\left(\frac{k\cdot(k-n)}{n}\right) < 0 }\)

Wartością modalną zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) o rozkładzie dwumianowym jest \(\displaystyle{ p_{0} = \frac{k}{n}. }\)

Proszę zlikwidować kreskę ułamkową w symbolu Newtona, pisząc w \(\displaystyle{ \LaTeX \ \ {n\choose k}. }\)

Dodano po 25 minutach 22 sekundach:
W Statystyce Matematycznej \(\displaystyle{ \hat{p} = \frac{k}{n} }\) jest estymatorem punktowym parametru \(\displaystyle{ p }\) rozkładu dwumianowego.

Dodano po 50 minutach 18 sekundach:
Maksimum lokalne funkcji \(\displaystyle{ f(p) }\) łatwiej jest znaleźć badając, znak jej pierwszej pochodnej .

Dla \(\displaystyle{ p\in \left (0 , \frac{k}{n}\right), \ \ f'(p) >0, \ \ f(p) \nearrow }\)

Gdy \(\displaystyle{ p \in \left( \frac{k}{n}, 1 \right) \ \ f'(p)< 0 \ \ f(p)\searrow }\)

\(\displaystyle{ f(p)_{max.lok} = f \left(\frac{k}{n} \right). }\)
Ostatnio zmieniony 2 cze 2022, o 21:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wartość modalna

Post autor: a4karo »

Skoro szukamy najbardziej prawdopodobnej wartości zmiennej losowej, to znaczy, że przy ustalonych `p` i `n` szukamy takiego `k`, aby `P_{n,k}` było największe. Najprościej można to zrobić badając różnice `P_{n.k+1}-P_{n,k}`, dla `k=0,1,...,n-1`:
\(\displaystyle{ \binom{n}{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}-\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k-1}\left[p(n+1)-(k+1)\right]}\)

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest nieujemne dla `k\le p(n+1)-1` i ujemne dla `k>p(n+1)-1`, a zatem przyjmuje największą wartość dla `k=\lfloorp(n+1)-1\rfloor`.

W przypadku gdy dla pewnego `k` mamy `k=p(n+1)-1` to dla takiego `k` zachodzi `P_{n,k+1}=P_{n,k}`, więc zmienna losowa ma dwie wartości modalne: `k` oraz `k+1` (tak jest np. w przypadku gdy `p=1/2` i `n` jest nieparzyste).
hutsalo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 141
Rejestracja: 14 sty 2022, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy

Re: Wartość modalna

Post autor: hutsalo »

A przepraszam. Mógłbym prosić jeszcze o pomoc w jednym zadaniu?
Wykaż, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X=X_{1}+X_{2}+X_{3}+...+X_{n}}\) ma rozkład Poissona, jeśli n→\(\displaystyle{ \infty }\). Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wartość modalna

Post autor: janusz47 »

To zadanie wypadałoby napisać jako oddzielne, a nie podpinać się do wartości modalnej rozkładu Poissona.

Określ rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\), która jest sumą \(\displaystyle{ n }\) zmiennych losowych o rozkładzie Poissona.

Najłatwiej skorzystać z funkcji generujących.

Oblicz granice tej sumy, gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty. }\)

Wyznacz \(\displaystyle{ E(X), V(X). }\)
ODPOWIEDZ