Przedział ufności

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
kamelos66
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 22 sty 2022, o 10:37
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 1 raz

Przedział ufności

Post autor: kamelos66 »

Badano zużycie węgla na wyprodukowanie 1 kWh w pewnej siłowni. Dokonano 10 pomiarów. Otrzymano średnią 463 g/kWh i odchylenie standardowe w próbce równe 30 g/kWh. Oszacować zużycie węgla na 1 kWh i podać przedział ufności tego oszacowania na poziomie ufności \(\displaystyle{ 0,95.}\)
Ostatnio zmieniony 22 sty 2022, o 11:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Przedział ufności

Post autor: janusz47 »

Estymacja punktowa oszacowania zużycia węgla na wyprodukowanie \(\displaystyle{ 1kWh }\) prądu.

\(\displaystyle{ \overline{X} \pm \frac{1}{\sqrt{n-1}}\cdot s = 463 \frac{g}{kWh} \pm \frac{1}{3}\cdot 36 \frac{g}{kWh} =463 kWh \pm 12 kWh }\)

\(\displaystyle{ (451 kWh, \ \ 475 kWh).}\)

Dwustronny przedział ufności dla średniego zużycia węgla - rozkład cechy normalny (mała próba, odchylenie standardowe - nieznane)

\(\displaystyle{ P\left(\overline{X} - t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n-1}} < m < \overline{X} + t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n-1}}\right) = 1 - \alpha, }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ P(|T_{n-1}|> t_{\alpha}) = \alpha. }\)

Wartość \(\displaystyle{ t_{\alpha} = t_{0,05} }\) odczytujemy za pomocą programu np. R lub tablicy rozkładu Studenta dla \(\displaystyle{ n - 1 = 10 - 1 = 9 }\) stopni swobody.

\(\displaystyle{ t_{0.05, 9 } \approx 2.26.}\)

\(\displaystyle{ P \left( 463 g - 2,26\cdot \frac{36}{\sqrt{9}} g < m < 463 g + 2,26\cdot \frac{36}{\sqrt{9}} g \right) = 0,95, }\)

\(\displaystyle{ P\left( 436 g < m < 490 g \right ) = 0.95. }\)

Interpretacja otrzymanego przedziału ufności

Możemy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 436 g \ \ 490 g }\) należy do tych przedziałów ufności, który z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95 }\) pokryje średnie zużycia węgla na wytworzenie \(\displaystyle{ 1kWh }\) prądu, a nie tylko próby dziesięcioelementowej.
ODPOWIEDZ