zbieżność według rozkładu

[Matematyk99xx]

Czy jeżeli \(\displaystyle{ X_{n} \stackrel{d}{\longrightarrow} X}\) oraz wiem, że implikuje to, że dla każdej funkcji ograniczonej i ciągłej \(\displaystyle{ f}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mathbb{E}f(X_{n}) \rightarrow {E}f(X)}\) gdy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) to czy można z tego wnioskować, że \(\displaystyle{ f(X_{n} )\stackrel{d}{\longrightarrow}f( X)}\)?

[Dasio11]

Tak, a ponadto założenie o ograniczoności \(\displaystyle{ f}\) jest w tym wniosku nieistotne.