Mam takie zadanie :
Populacja generalna ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\). Wylosowano z niej 6-elementową próbkę: 3,2 ; 2,5 ; 0,1 ; 5,1; 4,7; 4,1. Za pomocą testu najmocniejszego zweryfikuj hipotezę zerową, że \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{2}}\) przeciwko hipotezie alternatywnej, że \(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{3}}\). Przyjmij poziom istotności \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\).
Moja próba rozwiązania :
Wg mojej wiedzy, aby wyznaczyć test najmocniejszy, należy zapisać nierówność \(\displaystyle{ \frac{L_{1}}{L_{0}}>c}\), gdzie c jest pewną stałą, a w ułamku znajdują się funkcje wiarygodności, przedstawione jako iloczyny wartości funkcji gęstości dla kolejnych \(\displaystyle{ x_{i}}\). Robię tak i wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{ \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{3}\cdot e^{-\frac{1}{3}x_{i}}}{ \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}x_{i}}} > c}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left( \frac{1}{3}\right) ^n \cdot e^{-\frac{1}{3} \sum_{i=1}^{n}x_{i}} }{\left( \frac{1}{2}\right) ^n \cdot e^{-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}x_{i}}} > c}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3}\right)^{n}\cdot e^{\frac{1}{6} \sum_{i=1}^{n} x_{i}} >c }\)
Logarytmuję obustronnie
\(\displaystyle{ n\cdot \ln\frac{2}{3}+\frac{ \sum_{i=1}^{n} x_{i}}{6n} > c_{1}}\), gdzie \(\displaystyle{ c_{1} = \ln c}\)
I jeszcze po kilku przekształceniach otrzymuję
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_{i} > c_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ c_{2} = 6\cdot \left( c_{1}-n\cdot\ln\frac{2}{3}\right) }\)
Skoro \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\), to znaczy że \(\displaystyle{ P\left( \sum_{i=1}^{n} x_{i} > c_{2} | \lambda=\frac{1}{2}\right) = 0,05 }\)
I dalej się zatrzymuję. Jak mam wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ c_{2}}\)? Gdyby rozkład był normalny, to może jeszcze mógłbym jakoś ustandaryzować wyrażenie w nawiasie, a przy wykładniczym nie mam pojęcia co dalej. A może czegoś nie rozumiem i gdzieś robię błąd? Byłbym wdzięczny za wszelkie podpowiedzi i wskazówki.