Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym (jednostajnym) na przedziale \(\displaystyle{ [0;5]}\).
Korzystając funkcji charakterystycznej wyznacz pierwszy moment zwykły tej zmiany na losowej.
Pomoże ktoś rozwiązać?
Funkcja charakterystyczna w rozkładzie równomiernym
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 16 maja 2021, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
Funkcja charakterystyczna w rozkładzie równomiernym
Ostatnio zmieniony 16 maja 2021, o 13:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 16 maja 2021, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
Re: Funkcja charakterystyczna w rozkładzie równomiernym
Jak wykorzystać postać funkcji charakterystycznej do wyznaczenia momentu zwykłego?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Funkcja charakterystyczna w rozkładzie równomiernym
Jeśli policzyłaś funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \varphi(t) = \mathbb{E}\left(e^{itX}\right)}\), to odpowiednie momenty, o ile istnieją, wyrażają się wzorem
\(\displaystyle{ i^n\mathbb{E}X^n = \varphi^{(n)}(0)}\).
Tu jest delikatny problem z wartością pochodnej w \(\displaystyle{ 0}\), ale to nietrudno obejść, jak się policzy granicę \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0} \varphi^{(n)}(t)}\).
Podsumowując, plan jest taki:
- liczysz funkcję charakterystyczną;
- liczysz jej pochodną;
- przechodzisz z \(\displaystyle{ t \to 0}\);
- szukaną wartość oczekiwaną wyznaczasz z powyższego wzorku dla \(\displaystyle{ n=1}\).
\(\displaystyle{ i^n\mathbb{E}X^n = \varphi^{(n)}(0)}\).
Tu jest delikatny problem z wartością pochodnej w \(\displaystyle{ 0}\), ale to nietrudno obejść, jak się policzy granicę \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0} \varphi^{(n)}(t)}\).
Podsumowując, plan jest taki:
- liczysz funkcję charakterystyczną;
- liczysz jej pochodną;
- przechodzisz z \(\displaystyle{ t \to 0}\);
- szukaną wartość oczekiwaną wyznaczasz z powyższego wzorku dla \(\displaystyle{ n=1}\).