Generowanie liczb pseudolosowych - dwa trudniejsze przykłady

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 463
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Generowanie liczb pseudolosowych - dwa trudniejsze przykłady

Post autor: Chewbacca97 » 28 kwie 2021, o 23:04

1. Załóżmy, że mamy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) z rozkładem prawdopodobieństwa danym następująco:

\(\displaystyle{ \begin{cases}P(a<X<b) = \frac{b-a}{2} & \text{jeżeli $0<a<b<1$ } \\ P(X=i) = \left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} & \text{jeżeli $i=1,2,\dotsc$} & \end{cases}}\)

Należy opisać algorytm postępowania używając metody inwersji oraz kompozycji. Z samymi metodami nie mam problemu, natomiast w poprzednich przykładach miałem zwykle dane funkcję gęstości prawdopodobieństwa lub dystrybuantę i wszystko szło względnie gładko. Tutaj po raz pierwszy spotkałem się z połączeniem dyskretnego i ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa. Do metody inwersji będę potrzebował funkcji gęstości a do kompozycji dystrybuanty, natomiast nie do końca rozumiem w jaki sposób z nich tutaj skorzystać a przede wszystkim jak się do nich dostać znając ten rozkład prawdopodobieństwa.

2. Użyć dowolnej metody do wygenerowania liczb pseudolosowych majac zmienna losową \(\displaystyle{ X}\) i funkcję gęstości prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{k=0}^{10} (k+1)e^{-(k+1)x} {10 \choose k} 0.7^k 0.3^{10-k} \;\; \text{dla $x>0$}}\)

Tutaj podobnie nie jestem pewien jak zacząć. W poprzednich przykładach szukałem po prostu jakiegoś sposobu by przedstawić gęstość w takiej postaci: \(\displaystyle{ f_X(x) = p_1 f_A(x) + p_2 f_B(x)}\). Tutaj to połączenie rozkładu dwumianowego z rozkładem wykładniczym mocno utrudnia sprawę. :roll:
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ