Strona 1 z 1
Rozkład zmiennej losowej
: 19 kwie 2021, o 21:04
autor: Pytajacy3244
Punkt losowy \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest jednakowo prawdopodobny na kwadracie \(\displaystyle{ [0,1] ^{2} }\). Niech \(\displaystyle{ N}\) będzie liczbą pierwiastków rzeczywistych wielomianu \(\displaystyle{ \frac{1}{3}x ^{3}-a ^{2}x +b=0}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ N}\).
Re: Rozkład zmiennej losowej
: 19 kwie 2021, o 21:26
autor: Janusz Tracz
Nie miało być \(\displaystyle{ \frac{1}{3}x ^{3}-a ^{2}x +b=0}\)? Zakładam, że raczej tak. Wtedy wyróżnik równania to \(\displaystyle{ \Delta=-a^6+ \frac{9}{4}b^2}\). No i to już pozwala raczej stosunkowo łatwo znaleźć rozkład \(\displaystyle{ N}\). Bo do policzenia jest:
\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( N=1\right)= \mathscr{P}\left( \left\{ (a,b)\in \left[ 0,1\right]^2: \Delta>0 \right\} \right) }\)
\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( N=2\right)=0 \ \ \text{ bo tego jest mało i } \Delta=0 \text{ da zbiór miary zero} }\)
\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( N=3\right)= \mathscr{P}\left( \left\{ (a,b)\in \left[ 0,1\right]^2: \Delta<0 \right\} \right) }\)