Funkcje zmiennych losowych

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
siema321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 mar 2021, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 6 razy

Funkcje zmiennych losowych

Post autor: siema321 » 13 kwie 2021, o 19:17

1. \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\). Znajdź dystrybuantę i gęstość następujących zmiennych losowych: \(\displaystyle{ Y=−\ln(1−X).}\)

2. \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy ze współczynnikiem \(\displaystyle{ λ > 0}\). Znajdź gęstość rozkładu \(\displaystyle{ Y = 5X − 1}\).
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2021, o 19:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: Funkcje zmiennych losowych

Post autor: Premislav » 13 kwie 2021, o 19:37

1. Łatwo sprawdzić, że z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) przyjmuje wartości dodatnie, zatem dla \(\displaystyle{ y\le 0}\) jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y\le y)=0}\), zaś dla \(\displaystyle{ y>0}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(Y\le y\right)=\mathbf{P}\left(-\ln(1-X)\le y\right)=\mathbf{P}\left(\ln(1-X)\ge -y\right)=\mathbf{P}\left(1-X\ge e^{-y}\right)=\mathbf{P}\left(X\le 1-e^{-y}\right)=1-e^{-y}}\)

Zatem zmienna losowa \(\displaystyle{ y}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=1}\).
Jego gęstość uzyskujemy, różniczkując dystrybuantę tam, gdzie się da, i wynosi ona
\(\displaystyle{ f(y)=\begin{cases}0 \text{ dla }y\le 0\\e^{-y} \text{ dla }y>0\end{cases}}\)

ODPOWIEDZ