Niezależność statystyk pozycyjnych

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
dysfolid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 12 mar 2021, o 22:30
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 1 raz

Niezależność statystyk pozycyjnych

Post autor: dysfolid » 12 mar 2021, o 22:44

Witam,
Mam problem z następującym zadaniem
Niech \(X_1, ...,X_n\) będzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego \( Exp(\lambda)\). Przez \( X_{(k)}\) oznaczamy k-tą statystykę pozycyjną próby. Znaleźć rozkład\( X_{(k)}\). Wykazać, że \( X_{(k)}\) ,\( X_{(m)}-X_{(k)}\); \( 1\leq k \leq m \leq n\) są niezależne. Znaleźć rozkład zmiennej \( X_{(k+1)}- X_{(k)}\).

Nie jestem pewny jaką ścieżką podążać... Wyznaczyłem rozkład \( X_{(k)}\), próbowałem wyznaczyć dystrybuantę \( X_{(m)}-X_{(k)}\) licząc całkę podwójną, ale wyszło mi coś strasznego, więc zakładam że nie tędy droga.

Będę wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6696
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1447 razy

Re: Niezależność statystyk pozycyjnych

Post autor: janusz47 » 13 mar 2021, o 17:09

\(\displaystyle{ X \sim Exp(\lambda) }\)

Gęstość rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \lambda }\)

\(\displaystyle{ f(x, \lambda)= \begin{cases} \frac{1}{\lambda}e^{-\frac{x}{\lambda}}, \ \ x\geq 0 \\ 0 \ \ x< 0 \end{cases} }\)

Statystyki pozycyjne:

\(\displaystyle{ X_{(1)},..., X_{(k)} - X_{(k-1)} , \ \ k =1,2,...,n.}\)

przy czym

\(\displaystyle{ X_{(1)} = X_{(1)} - X_{(0)}, \ \ X_{(0)} = 0 }\)

Przechodzimy z parametru \(\displaystyle{ \lambda }\) na parametr pozycyjny \(\displaystyle{ n }\)

Możemy więc zapisać rozkłady wykładnicze statystyk pozycyjnych jako

\(\displaystyle{ X_{(1)} = Exp\left(\frac{1}{n}\right), \ \ X_{(k)} - X_{(k-1)} = Exp\left( \frac{1}{ n +1 - k} \right) }\)

Proszę:

-zdefiniować nowe statystyki pozycyjne:

\(\displaystyle{ Y_{(1)} = X_{(1)}, ..., Y_{(k)} = X_{(k)} - X_{(k-1)}, \ \ k = 1,2,...,n }\)

-zdefiniować macierz trójdiagonalną

\(\displaystyle{ A = ...}\)

oraz

wektory kolumnowe \(\displaystyle{ \vec{Y}, \ \ \vec{X} }\)

- zapisać w postaci macierzowej wektor

\(\displaystyle{ \vec{Y} =...}\)

- przejść z układu równań w postaci macierzowej \(\displaystyle{ \vec{Y}...}\) na układ równań z macierzą odwrotną

\(\displaystyle{ \vec{X} =...}\)

-napisać gęstości łączne rozkładów

\(\displaystyle{ f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = ...}\)

\(\displaystyle{ f_{\vec{X}} (A^{-1}\vec{y}) =...}\)

-korzystając z twierdzenia algebry macierzy " wyznacznik macierzy trójdiagonalnej jest równy iloczynowi elementów na diagonali"

-zapisać gęstość łączną rozkładu statystyk pozycyjnych

\(\displaystyle{ f_{X_{(1)}, X_{(2)} - X_{(1)},..., X_{(n)} - X_{(n-1)}} ( x_{(1)}, x_{(2)} - x_{(1)},...., x_{(n)} -x_{(n-1)}) =...}\)

- wykazać, że gęstość łączna rozkładu statystyk odpowiada iloczynowi gęstości prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego.

w ten sposób udowodnimy, niezależność statystyk pozycyjnych dla rozkładu wykładniczego.

dysfolid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 12 mar 2021, o 22:30
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 1 raz

Re: Niezależność statystyk pozycyjnych

Post autor: dysfolid » 13 mar 2021, o 19:58

Dziękuję za odpowiedź, sporo mi się rozjaśniło. Mam jeszcze jedną wątpliwość, z tego co udowodniliśmy mamy niezależność między każdymi dwiema różnicami postaci \( X_{(i)}- X_{(i-1)} \), ale nie do końca widzę jak z tego wynika niezależność \( X_{(m)}- X_{(k)} \) od \(X_{(k)} \) .

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6696
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1447 razy

Re: Niezależność statystyk pozycyjnych

Post autor: janusz47 » 13 mar 2021, o 21:24

Jeżeli udowodniliśmy niezależność statystyk pozycyjnych \(\displaystyle{ X_{(k)} - X_{(k-1)}, \ \ k=1,2,...,n }\) z iloczynu czynników gęstości łącznej, to możemy z niego wybrać dla dowolnego \(\displaystyle{ n>m > k }\) iloczyn gęstości \(\displaystyle{ X_{(m)} - X_{(k)} }\) odpowiadający rozkładowi

\(\displaystyle{ X_{(m)} - X_{(k)} \in Exp \left ( \frac{1}{n +m -k }\right).}\)

ODPOWIEDZ