Zadanie 1
W celu oszacowania rozrzutu donośności pocisków wystrzelonych pewnego typu moździerza wystrzelono \(\displaystyle{ 16}\) pocisków i uzyskano z tej próby wariancję równą \(\displaystyle{ 20\, cm^2}\) . Przyjmując współczynnik ufności równy \(\displaystyle{ 0,98}\) wyznacz:
a. przedział ufności wartości wariancji w całej populacji
b. Oszacuj precyzję przedziału ufności.
Zadanie 2
W pewnej przychodni wśród losowo wybranych \(\displaystyle{ 980}\) osób poddanych prześwietleniu małoobrazkowemu stwierdzono zmiany chorobowe u \(\displaystyle{ 10}\) osób. Zakładając poziom ufności równy \(\displaystyle{ 0,95}\) wyznacz:
a. przedział ufności dla wskaźnika struktury osób chorych spośród wszystkich ludzi podanych badaniu w tej przychodni
b. Precyzję wyznaczonego przedziału,
Czy mogłabym prosić o jakieś wskazówki do tych zadań? Z góry bardzo dziękuję
Estymacja
-
Karolinaa0
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Estymacja
Ostatnio zmieniony 4 lut 2021, o 13:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Estymacja
Zadanie 1
Dwustronny przedział ufności dla wariancji
\(\displaystyle{ Pr\left(\frac{n\cdot S^2_{n}}{\chi^2_{1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{n\cdot S^2_{n}}{\chi^2_{2}} \right) = 1- \alpha }\)
Podstawiamy dane wynikające z treści zadania
\(\displaystyle{ n = 16, \ \ S^2_{16} = 20 cm^2, \ \ 1 - \alpha = 0,98 }\)
Odczytujemy z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2 }\) wartość kwantyli
\(\displaystyle{ \chi^2_{1} = \chi^2( 0,01; 15) = 30,6, \ \ \chi^2_{2} = \chi^2(0,99, 15) = 5,2.}\)
\(\displaystyle{ Pr( 30,5 \ \ cm^2 \leq \sigma^2 \leq 61,5 \ \ cm^2 ) = 0,98. }\)
Interpretujemy otrzymany przedział ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,98 }\) możemy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 30,5 \ \ cm^2 \ \ 61,5 \ \ cm^2 }\) jest tym przedziałem ufności, który pokryje wariancję rozrzutu pocisków pewnego moździerza, a nie tylko ich próby \(\displaystyle{ 16 }\) - elementowej.
Dokładność tego szacunku wynosi
\(\displaystyle{ \Delta D^2_{S_{x}} = \frac{1}{2}(S_{2} - S_{1}) = \frac{1}{2}(61,5 - 30,5)\ \ cm^2 = 15,5 \ \ cm^2 }\)
Dodano po 2 godzinach 57 minutach 35 sekundach:
Przedział dla proporcji -wskaźnika frakcji (struktury)
\(\displaystyle{ Pr\left(p - z_{\alpha}\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}} \leq pr \leq p + z_{\alpha}\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}} \right)= 1-\alpha }\)
Dane
\(\displaystyle{ n= 980, \ \ k = 10.}\)
Obliczamy wartość frakcji
\(\displaystyle{ p = \frac{k}{n} }\)
\(\displaystyle{ p = \frac{10}{980} = \frac{1}{98} }\)
Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego odczytujemy wartość kwantyla rzędu \(\displaystyle{ 0,05 }\)
\(\displaystyle{ z_{0.05} =1,96.}\)
\(\displaystyle{ Pr \left( \frac{1}{98} - 1,96\sqrt{ \frac{\frac{1}{98}\cdot \frac{97}{98}}{980}} \leq pr \leq \frac{1}{98} + 1,96\sqrt{ \frac{\frac{1}{98}\cdot \frac{97}{98}}{980}} \right) = 0,95 }\)
\(\displaystyle{ Pr( 0,004 \leq pr \leq 0,016 ) = 0,95. }\)
Przykładowa interprretacja przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95 }\) należy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 0,4\%, \ \ 1,6\% }\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją prawdopodobieństwo zmian chorobowych w prześwietleniu małoobrazkowym osób pewnej przychodni.
Precyzja tego oszacowania wynosi
\(\displaystyle{ \Delta_{pr} = \frac{1}{2}( 0,016 - 0,004) = 0,006. }\)
Dwustronny przedział ufności dla wariancji
\(\displaystyle{ Pr\left(\frac{n\cdot S^2_{n}}{\chi^2_{1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{n\cdot S^2_{n}}{\chi^2_{2}} \right) = 1- \alpha }\)
Podstawiamy dane wynikające z treści zadania
\(\displaystyle{ n = 16, \ \ S^2_{16} = 20 cm^2, \ \ 1 - \alpha = 0,98 }\)
Odczytujemy z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2 }\) wartość kwantyli
\(\displaystyle{ \chi^2_{1} = \chi^2( 0,01; 15) = 30,6, \ \ \chi^2_{2} = \chi^2(0,99, 15) = 5,2.}\)
\(\displaystyle{ Pr( 30,5 \ \ cm^2 \leq \sigma^2 \leq 61,5 \ \ cm^2 ) = 0,98. }\)
Interpretujemy otrzymany przedział ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,98 }\) możemy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 30,5 \ \ cm^2 \ \ 61,5 \ \ cm^2 }\) jest tym przedziałem ufności, który pokryje wariancję rozrzutu pocisków pewnego moździerza, a nie tylko ich próby \(\displaystyle{ 16 }\) - elementowej.
Dokładność tego szacunku wynosi
\(\displaystyle{ \Delta D^2_{S_{x}} = \frac{1}{2}(S_{2} - S_{1}) = \frac{1}{2}(61,5 - 30,5)\ \ cm^2 = 15,5 \ \ cm^2 }\)
Dodano po 2 godzinach 57 minutach 35 sekundach:
Przedział dla proporcji -wskaźnika frakcji (struktury)
\(\displaystyle{ Pr\left(p - z_{\alpha}\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}} \leq pr \leq p + z_{\alpha}\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}} \right)= 1-\alpha }\)
Dane
\(\displaystyle{ n= 980, \ \ k = 10.}\)
Obliczamy wartość frakcji
\(\displaystyle{ p = \frac{k}{n} }\)
\(\displaystyle{ p = \frac{10}{980} = \frac{1}{98} }\)
Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego odczytujemy wartość kwantyla rzędu \(\displaystyle{ 0,05 }\)
\(\displaystyle{ z_{0.05} =1,96.}\)
\(\displaystyle{ Pr \left( \frac{1}{98} - 1,96\sqrt{ \frac{\frac{1}{98}\cdot \frac{97}{98}}{980}} \leq pr \leq \frac{1}{98} + 1,96\sqrt{ \frac{\frac{1}{98}\cdot \frac{97}{98}}{980}} \right) = 0,95 }\)
\(\displaystyle{ Pr( 0,004 \leq pr \leq 0,016 ) = 0,95. }\)
Przykładowa interprretacja przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95 }\) należy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 0,4\%, \ \ 1,6\% }\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją prawdopodobieństwo zmian chorobowych w prześwietleniu małoobrazkowym osób pewnej przychodni.
Precyzja tego oszacowania wynosi
\(\displaystyle{ \Delta_{pr} = \frac{1}{2}( 0,016 - 0,004) = 0,006. }\)