Wyznaczyć prawdopodobieństwa z dystrybuanty

[ryszard1960]

Dystrybuanta zmiennej losowej X jest określona nastepująco:

\(\displaystyle{ \begin{array}{|r| c|c |c |c |c |c| c| }
\hline

X<x &X<- 5 &X<-3& X<-1 & X<1 & X<4& X<n,N>4 \\ \hline
F(x) & 0 & 0,111&0,285 & 0,580 & 0,940& 1 \\ \hline
\end{array}}\)

Wyznaczyć prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ a)P(X\geqslant-2)\\\
b)P(X<2)\\\
c)P(-3<X<1)\\\
d)P(0 \leqslant X \leqslant4)\\\
e)P(-7<X<-4)\\\
f)P(X=-1) }\)

[janusz47]

W tabelce powinien znajdować się znak \(\displaystyle{ \leq }\)

Mamy dwa sposoby wyznaczenia wartości prawdopodobieństw zdarzeń.

Na podstawie dystrybuanty ( zamieszczona tabelka) lub na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X, }\) który znajdujemy na podstawie danej dystrybuanty

Sposób pierwszy

a)
\(\displaystyle{ Pr( X \geq -2) = Pr(X = -1) + Pr(X = 1) + Pr( X = 4).}\)

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) przyjmie wartość w danym punkcie \(\displaystyle{ a }\) jest równe skokowi dystybuanty w tym punkcie, to jest różnicy granicy prawostronnej dystrybuanty i jej wartości w punkcie \(\displaystyle{ a. }\)

\(\displaystyle{ Pr(X = a) = \lim_{x \to a^{+}} F(x) - F(a). }\)

\(\displaystyle{ Pr(X = -1) = 0,580 - 0,285 = 0,295. }\)

\(\displaystyle{ Pr(X = 1) = 0,940 - 0,580 = 0,360. }\)

\(\displaystyle{ Pr( X = 4) = 1 - 0,940 = 0,060. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ Pr( X \geq -2) = 0,295 + 0, 360 + 0,060 = 0,715.}\)

Sposób drugi

Budujemy tabelkę rozkładu funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) na podstawie dystrybuanty

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c| c|c |c |c |c |}
\hline
x_{i} & -5 & -3 & -1& 1 & 4 \\ \hline
p(x_{i}) & 0,111 & 0,174 & 0,295 & 0,360 & 0,060 \\ \hline
\end{array} }\)

Na podstawie tabelki odczytujemy, że

\(\displaystyle{ Pr(X \geq -2) = Pr(X = -1) + Pr(X = 1) + Pr( X = 4) = 0,295 + 0,360 + 0,060 = 0,715. }\)

Pozostałe wartości prawdopodobieństw obliczamy podobnie.