Rozkład zmiennej losowej X przedstawia tabela

[ryszard1960]

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) przedstawia tabela

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x_{i} & m & n \\ \hline
p_{i} & 0,9 & 0,1 \\ \hline

\end{array}}\)

Ile wynoszą \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) jeżeli \(\displaystyle{ E(X) =10}\) oraz \(\displaystyle{ V(X) = 900}\) ? Ile wynosi \(\displaystyle{ E(Y)}\), jeżeli \(\displaystyle{ Y = 2 - X^2 }\) ?

[terefere123]

Z tabelki wiemy, że \(\displaystyle{ P(X=m) = 0,9}\) oraz \(\displaystyle{ P(X=n)=0,1}\).
\(\displaystyle{ E(X) = m\cdot P(X=m) + n\cdot P(X=n) = 10}\) z definicji wartości oczekiwanej.
\(\displaystyle{ Var(X) = E(X^2) - E(X)^2}\) - definicja wariancji
\(\displaystyle{ E(X^2) =m^2\cdot P(X=m) + n^2\cdot P(X=n) }\)
czyli
\(\displaystyle{ Var(X) = 900 = m^2\cdot P(X=m) + n^2\cdot P(X=n) - E(X)^2 }\)
gdzie wiemy, że \(\displaystyle{ E(X) = 10}\)
\(\displaystyle{ Var(X) = 1000 = m^2\cdot P(X=m) + n^2\cdot P(X=n)}\)

Mamy układ równań:
\begin{cases} m^2\cdot 0,9 + n^2\cdot 0,1 = 1000 \\ m\cdot 0,9 + n\cdot 0,1 = 10 \end{cases}
rozwiązanie go zostawiam już Tobie.
Powinno wyjść: \(\displaystyle{ n = 100 \wedge m = 0}\) lub \(\displaystyle{ n = -80 \wedge m =20}\).

Dla zmiennej \(\displaystyle{ Y = 2 -X^2}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = E(2 - X^2) = E(2) - E(X^2)}\) (z własności wartości oczekiwanej)
\(\displaystyle{ E(2) = 2}\), a \(\displaystyle{ E(X^2)}\) już liczyliśmy, wystarczy podstawić \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) i masz wynik.