Rzut kostką a wartość oczekiwana wygranej

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
ryszard1960
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 sie 2009, o 19:48
Płeć: Mężczyzna

Rzut kostką a wartość oczekiwana wygranej

Post autor: ryszard1960 »

Dane są trzy kostki do gry w trzech kolorach:czerwony,żółty ,niebieski. Gracz rzuca nimi i dostaje 24 razy tyle złotych co na kostce czerwonej,płaci 15 razy tyle co na kostce żółtej i płaci 10 razy tyle co na niebieskiej.Ile wynosi wartość oczekiwana wygranej,wariancja wygranej,Vzk. :(
terefere123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 3 lis 2019, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Rzut kostką a wartość oczekiwana wygranej

Post autor: terefere123 »

Zdefiniujmy sobie trzy niezależne zmienne dotyczące wyniku jaki dostajemy na każdej z kości.
\(\displaystyle{ CZ}\) - wynik na czerwonej kości
\(\displaystyle{ N}\) - wynik na niebieskiej kości
\(\displaystyle{ Ż}\) - wynik na żółtej kości

Zmienną wygranej możemy wtedy zdefiniować jako:
\(\displaystyle{ X = 24CZ -15Ż - 10N}\)

Policzmy \(\displaystyle{ E(X)}\)
\(\displaystyle{ E(X) = E(24CZ -15Ż - 10N)}\) z własności wartości oczekiwanej:
\(\displaystyle{ E(X) = 24E(CZ) - 15E(Ż) - 10E(N)}\)
wystarczy nam policzyć proste wartości oczekiwane trywialnych zmiennych!
To pozostawie tobie. Możesz zauważyć, że \(\displaystyle{ E(CZ) = E(N) = E(Ż) = 3.5}\)

Wariacja zmiennej X to \(\displaystyle{ Var(X) = E(X^2) - E(X)^2}\) ale licząc w ten sposób będzie nam bardzo ciężko.
Na samym początku napisałem że nasze zmienne losowe są niezależne (wyniki na poszczególnych kościach nie zależą w jakikolwiek sposób od siebie) a więc możemy użyć własności wariacji takiej, że \(\displaystyle{ Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)}\) gdy \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne.
Czyli \(\displaystyle{ Var(X) = Var(24CZ -15Ż - 10N) = Var(24CZ) + Var(-15Ż) + Var(10N)}\)
Tutaj możemy użyć kolejną własność \(\displaystyle{ Var(aX) = a^2Var(X)}\)
Czyli mamy:
\(\displaystyle{ Var(X) = 24^2\cdot Var(CZ) + 15^2\cdot Var(Ż) + 10^2\cdot Var(N)}\)
Wariacje tych zmiennych również pozostawię tobie do obliczenia. (wystarczy je liczyć tak jak definicja mówi)
Ostatnio zmieniony 3 lut 2021, o 21:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ