Zmienne losowe

[Maciek531]

Czy mogę prosić o pomoc z poniższym zadaniem?

\(\displaystyle{ (X,Y) \sim f(x,y) = \begin{cases} x^{2} + \frac{1}{3}y \ \ \ ,-1 \le x \le 1 \\0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ , \ \ 0 \le y \le 1 \end{cases}
\\
Var(2X-Y) = ? \\
E( X^{3} \cdot e^{Y}) = ?
}\)

[Premislav]

Jeśli wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma gęstość rozkładu prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f(x,y)}\), natomiast \(\displaystyle{ g: \RR^{2}\rightarrow \RR}\) jest funkcją mierzalną, to \(\displaystyle{ \mathbf{E}[g(X,Y)]=\iint_{\RR^{2}}g(x,y)f(x,y)\mbox{d}(x,y)}\)

Skorzystaj z tego i ze wzoru \(\displaystyle{ \mathbf{Var} X=\mathbf{E}\left(X^{2}\right)-\left(\mathbf{E}X\right)^{2}}\)