Badanie hipotezy

[eldamiano22]

Mam następujące dane:
- \(\displaystyle{ n = 10}\)
- \(\displaystyle{ \overline{x} = 5}\)
- \(\displaystyle{ S^{2} = 4}\)

Korzystam z:
\(\displaystyle{ \frac{\overline{x} - m}{S} \cdot \sqrt{n-1} \sim t_{n-1} }\)

Mam za zadanie zbadać hipotezę \(\displaystyle{ m=8}\) przeciwko hipotezie \(\displaystyle{ m<8}\) na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha = 0,02}\).

Nie umiem sobie poradzić z obszarem krytycznym. Wiem, że będzie od minus nieskończoności do wartości kwantyla \(\displaystyle{ 0,02}\) dla rozkładu t studenta dla stopni swobody równej \(\displaystyle{ 9}\), zgadza się?

Na razie mam takie obliczenia.

\(\displaystyle{ \frac{5-8}{2} \cdot \sqrt{9} = -4,5}\)

I na tym skończyłem. Jak wyznaczyć obszar krytyczny dla tego zadania?

[janusz47]

Obszar krytyczny \(\displaystyle{ \mathcal{K} }\) lewostronny testu wyznaczamy na podstawie równania kwantyla rzędu \(\displaystyle{ 0,04 }\) z \(\displaystyle{ \nu = 9 }\) stopniami swobody rozkładu Studenta:

\(\displaystyle{ Pr(T_{n-1}\geq k ) = 2\alpha. }\)

\(\displaystyle{ Pr(T _{9} \geq k) = 0,04. }\)

Tablica rozkładu Studenta:

\(\displaystyle{ k = 0,883.}\)

lub

Program R

Kod: Zaznacz cały

> k = qt(0.2,9)
> k
[1] -0.8834039

Obszar krytyczny testu:

\(\displaystyle{ \mathcal{K} = ( -\infty, -k ] = (-\infty, -0,883].}\)

Decyzja ?

[eldamiano22]

Odrzucamy hipotezę \(\displaystyle{ m=8}\) na rzecz hipotezy alternatywnej \(\displaystyle{ m<8}\) na poziomie istotności \(\displaystyle{ 0,02}\).

Ale nadal nie rozumiem kompletnie dlaczego rzędu \(\displaystyle{ 0,04.}\)
I dlaczego przedział do \(\displaystyle{ -k}\)?

\(\displaystyle{ \mathcal{K} = ( -\infty, -k ]}\)

Dodano po 10 minutach 25 sekundach:
Pan dodatkowo we wzorze obliczył potem w programie dla \(\displaystyle{ 0,2}\) a nie dal \(\displaystyle{ 0,02}\), dlaczego?

[janusz47]

To zależy od konstrukcji tablic wartości kwantyli rozkładu Studenta.

W tablicach trzeciej części książki R. Leitner Zarys Matematyki dla Inżynierów, którą posiadam musimy uwzględnić dla jednostronnego obszaru krytycznego testu rząd \(\displaystyle{ 2\alpha }\).

W programie komputerowym \(\displaystyle{ R }\) do wyznaczenia granicy obszaru krytycznego mamy zakodowane kwantyle rozkładu Studenta rzędu \(\displaystyle{ \alpha }\)

W podręczniku akademickim Jacka Koronackiego Jana Milczuka Statystyka - uwzględniamy rząd \(\displaystyle{ 1 -\alpha }\)

Reasumując, proszę podać tablicę rozkładu Studenta, którą Pan posiada postaramy się z niej odczytać wartość graniczną \(\displaystyle{ k }\) obszaru krytycznego \(\displaystyle{ \mathcal{K}. }\)

Nadmieniam, że wartości kwantyli mogą się w poszczególnych tablicach nieznacznie różnić.

Dla kwanyla rzędu \(\displaystyle{ \alpha = 0,02 }\)

Kod: Zaznacz cały

> k = qt(0.02,9)
> k
[1] -2.398441

[eldamiano22]

Kod: Zaznacz cały

http://iis.pwsz.elblag.pl/~j.domsta/MPiS20/v2appendixc.pdf

Posiadam taką tablicę.

Dodano po 1 minucie 14 sekundach:

Dla kwanyla rzędu \(\displaystyle{ \alpha = 0,02 }\)

Kod: Zaznacz cały

> k = qt(0.02,9)
> k
[1] -2.398441

To w takim razie odpowiedź jest inna? Od minus nieskończoności do -2.39?

[janusz47]

Odpowiedź jest inna, bo uwzględniłem \(\displaystyle{ \alpha = 0,2 }\) zamiast \(\displaystyle{ \alpha = 0,02. }\)

W Pańskich tablicach page \(\displaystyle{ 7, \nu = 9, \ \ A = 1 -\alpha = 1- 0,02 = 0,98, \ \ k = 2,398. }\)

Obszar krytyczny testu \(\displaystyle{ \mathcal{K} = (-\infty,\ \ -2,398]. }\)

[eldamiano22]

Dziękuję za pomoc!