Gęstość i dystrybuanta ciągłej zmiennej losowej

[Maciek531]

Bardzo proszę o pomoc, dostałem takie zadanie. Samą teorię z wykładu nam dał, bez żadnych przykładów i nie mam pojęcia jak się do tego zabrać.
\(\displaystyle{
X \sim f(x) = \begin{cases} x^{2} &\text{dla } x\in (-1,0]\\ Cx^{2}e^{x ^{3} }
&\text{dla } x \in (0,1)\\ 0 &\text{dla } x \in (- \infty ,-1] \cup [1, \infty )
\end{cases}
}\)

\(\displaystyle{
C=?\\
F( \frac{1}{2}) = ? \\
EX^{3} = ?
}\)

[Premislav]

Żeby \(\displaystyle{ f}\) była gęstością rozkładu prawdopodobieństwa, musi być nieujemna i spełniać warunek
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mbox{d}x=1}\)
Tę całkę oczywiście możesz sobie rozpisać na \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{-1}f(x)\mbox{d}x+\int_{-1}^{0}f(x)\mbox{d}x+\int_{0}^{1}f(x)\mbox{d}x+\int_{1}^{+\infty}f(x)\mbox{d}x}\)
Korzystając z tego, jak zdefiniowana jest \(\displaystyle{ f}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}x^{2}\mbox{d}x+\int_{0}^{1}Cx^{2}e^{x^{3}}\mbox{d}x=1}\)
(jak wspomniałem, gęstość ma się całkować do jedynki), a to jest w istocie równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ C}\), tylko trzeba policzyć te całki. Pierwsza jest totalnie trywialna, w drugiej wykonujesz podstawienie \(\displaystyle{ t=x^{3}}\).

Dystrybuanta dla rozkładu absolutnie ciągłego to po prostu całka z gęstości w odpowiednich granicach, czyli w drugiej części masz obliczyć
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\frac{1}{2}}f(x)\mbox{d}x}\)

Natomiast co do ostatniej części, to jeśli \(\displaystyle{ X\sim f(x)}\), mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[X^{3}\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{3}f(x)\mbox{d}x}\)
Tu znowu rozbijasz na przedziały.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ (1)}\) Stałą \(\displaystyle{ C}\) wyliczysz zakładając, że \(\displaystyle{ \int_{\RR}f(x) \dd x =1}\). Zatem do policzenia jest całka po lewej i tzreba rozwiązać równanie. Po podstawianiu wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}x^2 \dd x + \int_{0}^{1}Cx^2e^{x^3} \dd x =1 }\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}x^2 \dd x + C\int_{0}^{1}x^2e^{x^3} \dd x =1 }\)

\(\displaystyle{ C = \frac{1 - \int_{-1}^{0}x^2 \dd x}{\int_{0}^{1}x^2e^{x^3} \dd x } }\)

\(\displaystyle{ (2)}\) Stałą \(\displaystyle{ C}\) już znasz więc o ile \(\displaystyle{ F}\) oznacza dystrybuantę to zapisać można (praktycznie z definicji) \(\displaystyle{ F\left( \frac{1}{2} \right)= \int_{- \infty }^{ \frac{1}{2} } f(x) \dd x }\). Rozpisując tą całkę analogicznie jak w \(\displaystyle{ (1)}\) dostajemy coś co można liczyć.

\(\displaystyle{ (3)}\) Z wzory na wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]=\int \limits _{\mathbb {R} }~\varphi (x)f(x) \dd x }\) zatem tu do policzenia jest:

\(\displaystyle{ \mathbb {E} \left[X^3\right]=\int \limits _{\mathbb {R} }x^3f(x) \dd x = \int_{-1}^{0}x^5 \dd x + \int_{0}^{1}Cx^5e^{x^3} \dd x }\)

edit: literówka

[Maciek531]

Bardzo Ci dziękuję, życie mi ratujesz:)