Rzut kostką do gry

[Maciek531]

Rzucamy kostką do gry tak długo, aż wynik będzie podzielny przez 3.
Niech X oznacza liczbę wykonanych rzutów.

Oblicz: \(\displaystyle{ P(X \ge 20 \setminus X \ge 15)}\)

[Janusz Tracz]

Nie jestem absolutnie pewien ale wydaje mi się, że na zdrowy rozsądek \(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( X \ge 20 | X \ge 15\right) }\) jest po prosty równe, temu, że wyrzucimy jeszcze \(\displaystyle{ k}\) (gdzie \(\displaystyle{ k \ge 4}\)) razy liczbę niepodzielną przez \(\displaystyle{ 3}\), a za \(\displaystyle{ k+1}\) trafi się liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Bo to, że rzucaliśmy już \(\displaystyle{ 15}\) razu nie ma nic do rzeczy. Pytanie można przeformować i pytać się o \(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( X \ge 5\right) }\), a wyobrażać sobie, że już wcześniej oddaliśmy \(\displaystyle{ 15}\) rzutów które dały niepodzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) liczbę oczek. Wtedy \(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( X \ge 5\right) }\) można policzyć jako \(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( X \ge 5\right) = \sum_{n=5}^{ \infty } \mathscr{P}\left( X =n\right) }\), Prawdopodobieństwo oddania \(\displaystyle{ n}\) rzutów wynosi \(\displaystyle{ \left( \frac{4}{6}\right)^{n-1} \cdot \frac{2}{6} }\) bo to jest p-stwo oddania \(\displaystyle{ n-1}\) rzutów z liczbą oczek nie podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) zakończone ostatecznie \(\displaystyle{ n}\)-tym rzutem dającym liczbę oczek podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem do policzenia jest \(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( X \ge 5\right)= \sum_{n=5}^{ \infty } \left( \frac{4}{6}\right)^{n-1} \cdot \frac{2}{6} = \frac{16}{81} }\)

[Maciek531]

Bardzo dziękuję