ENW parametru n

[Bozydar12]

Wykonano \(\displaystyle{ n}\) doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p =
\frac{1}{3} }\). Liczba \(\displaystyle{ n }\) jest nieznanym parametrem. Okazało się, że liczba porażek jest o cztery większa od liczby sukcesów. Wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ ENW[n]}\).

\(\displaystyle{ P(k)= {n \choose k} \cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{k} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{n-k} }\), gdzie k-liczba sukcesów.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ n-k=k+4}\), stąd \(\displaystyle{ n=2k+4 }\), po podstawieniu uzyskuję funkcję wiarygodności, którą maksymalizuję. Czy tutaj traktuję k jako pewną znaną wartość, i w ten sposób szacuję estymator? Nie do końca wiem co muszę zrobić dalej. Jeżeli jest tak jak myslę, to wtedy
\(\displaystyle{ ENW[n]=[(2k+5) \cdot \frac{1}{3} -1, (2k+5) \cdot \frac{1}{3}] }\), gdzie ENW[n] będzie wartością całkowitą z tego przedziału.

[janusz47]

Podstawiamy \(\displaystyle{ n = 2k + 4 }\) do wzoru na rozkład Bernoullego.

Tworzymy funkcję wiarygodności.

Maksymalizujemy logarytm naturalny tej funkcji.

Znajdujemy wartość ENW \(\displaystyle{ \hat{k} }\) parametru \(\displaystyle{ k }\) dla wartości prawdopodobieństwa sukcesu \(\displaystyle{ p = \frac{1}{3}.}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ \hat{n} = 2\hat{k} + 4.}\)