W rozkładzie \(\displaystyle{ Q=N\left( -3, 2^{2} \right)}\) znaleźć
a) prawdopodobieństwo przedziałów \(\displaystyle{ \left( -\infty; -5\right), \left( 1; 3 \right) , \left( 2; \infty \right) }\)
b) takie wartości a i b, dla których \(\displaystyle{ Q\left( -\infty, a \right) = 0,3; Q\left( b, \infty \right) = 0,3}\)
Mam jak na razie takie rozwiązania:
Dla przykładu a) \(\displaystyle{ \left( -\infty; -5\right)}\)
\(\displaystyle{ Q\left( -\infty, -5 \right) \equiv Q_{N\left( 0, 1 \right)}\left( -\infty, \frac{-5-(-3)}{2} \right) = Q_{N\left( 0, 1 \right)}\left( -\infty, -1 \right) = \Phi\left( -1 \right) = 1 - \Phi\left( 1 \right) = 0,1587}\)
Dla przykładu a) \(\displaystyle{ \left( 1; 3\right)}\)
Tutaj mam ze jest to \(\displaystyle{ \Phi\left( 3 \right) - \Phi\left( 1 \right)}\), ale nie rozumiem dlaczego.
Dla przykładu a) \(\displaystyle{ \left( 2; \infty \right)}\)
Tego nie wiem.
Przykłady z b) również chciałbym zrozumieć w jaki sposób je wykonać.
Pozdrawiam.
Dodano po 17 godzinach 37 minutach 39 sekundach:
Czy ktoś może mi podpowiedzieć chociaż gdzie mogę znaleźć jakieś źródło informacji do tego. Główny problem mój jest w sumie taki, że nie mogę nigdzie znaleźć podobnych przykładów do tych co podałem...
Rozkłady normalne
-
eldamiano22
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 7 sty 2019, o 19:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 4 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rozkłady normalne
Musimy najpierw wiedzieć na czym polega standaryzacja (przekształcenie) rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) }\) do rozkładu stablicowanego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0, 1) }\) czyli standaryzowanego rozkładu normalnego.
Nie wnikamy w teorię. Na podanych przez Pana wybranych przykładach postaramy się wyjaśnić proces standaryzacji.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(-3, 2^2). }\)
Gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) jest określona równaniem
\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2^2}}e^{\left( -\frac{(x -(-3))^2}{ 2\cdot 2^2}\right)} }\)
Obliczamy wartości prawdpodobieństw:
Zadanie a
1
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty,\ \ -5)\}) = \int_{-\infty}^{-5} f_{X}(x)dx = \int_{-\infty}^{-5} \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2^2}}e^{\left( -\frac{(x -(-3))^2}{ 2\cdot 2^2}\right)}dx }\)
Podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{x +3}{2} = t \ \ dx = 2dt,\ \ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x & -\infty & -5 \\ \hline t & -\infty & -1 \\ \hline \end{tabular} }\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty,\ \ -5)\}) = \int_{-\infty}^{-1} \frac{2}{2\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \phi(-1) = 1 -\phi(1) [tablice] \approx 1 - 0,8413 = 0,1587.}\)
Standaryzację możemy uprościć (pomijając całkę z gęstością ) i obliczać bezpośrednio wartość prawdopodobieństw, podstawiając \(\displaystyle{ \frac{x -\mu}{\sigma} }\) tak jak Pan to zrobił. Zapis z literą Q jest sztuczny, wprowadza dodatkowe niepotrzebne oznaczenie.
2
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (1,\ \ 3)\}) = \int_{1}^{3} f_{X}(x)dx = \int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2^2}}e^{\left( -\frac{(x -(-3))^2}{ 2\cdot 2^2}\right)}dx }\)
Podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{x +3}{2} = t \ \ dx = 2dt,\ \ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 \\ \hline t & 2 & 3 \\ \hline \end{tabular} }\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (1,\ \ 3)\}) = \int_{-\infty}^{-1} \frac{2}{2\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \int_{ 2}^{3} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \phi(3) - \phi(2) [ tablice, program R] \approx 0,02140.}\)
Program R
\(\displaystyle{ Pr(\{ a < X < b \}) = \int_{a}^{b} f_{X}(x)dx = F(a) - F(b) }\)
Zadanie b
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty, \ \ a)\}) = 0,3. }\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty, \ \ a)\}) = \int_{-\infty}^{a} f_{X}(x)dx = \int_{-\infty}^{a} \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2^2}}e^{\left( -\frac{(x -(-3))^2}{ 2\cdot 2^2}\right)}dx }\)
Podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{x +3}{2} = t \ \ dx = 2dt,\ \ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x & -\infty & a \\ \hline t & -\infty & \frac{ a+3}{2} \\ \hline \end{tabular} }\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty),\ \ a)\}) = \int_{-\infty}^{\frac{a+3}{2}} \frac{2}{2\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \int_{-\infty}^{\frac{a+3}{2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \phi\left( \frac{a+3}{2} \right) }\)
\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{a+3}{2} \right) = \phi^{-1}(0,3) [program R ] \approx \phi(-0.5244) }\)
Program R
Z różnowartościowości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{a+3}{2} = -0,5244, }\)
\(\displaystyle{ a = -4,488 }\)
Nie wnikamy w teorię. Na podanych przez Pana wybranych przykładach postaramy się wyjaśnić proces standaryzacji.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(-3, 2^2). }\)
Gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) jest określona równaniem
\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2^2}}e^{\left( -\frac{(x -(-3))^2}{ 2\cdot 2^2}\right)} }\)
Obliczamy wartości prawdpodobieństw:
Zadanie a
1
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty,\ \ -5)\}) = \int_{-\infty}^{-5} f_{X}(x)dx = \int_{-\infty}^{-5} \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2^2}}e^{\left( -\frac{(x -(-3))^2}{ 2\cdot 2^2}\right)}dx }\)
Podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{x +3}{2} = t \ \ dx = 2dt,\ \ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x & -\infty & -5 \\ \hline t & -\infty & -1 \\ \hline \end{tabular} }\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty,\ \ -5)\}) = \int_{-\infty}^{-1} \frac{2}{2\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \phi(-1) = 1 -\phi(1) [tablice] \approx 1 - 0,8413 = 0,1587.}\)
Standaryzację możemy uprościć (pomijając całkę z gęstością ) i obliczać bezpośrednio wartość prawdopodobieństw, podstawiając \(\displaystyle{ \frac{x -\mu}{\sigma} }\) tak jak Pan to zrobił. Zapis z literą Q jest sztuczny, wprowadza dodatkowe niepotrzebne oznaczenie.
2
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (1,\ \ 3)\}) = \int_{1}^{3} f_{X}(x)dx = \int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2^2}}e^{\left( -\frac{(x -(-3))^2}{ 2\cdot 2^2}\right)}dx }\)
Podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{x +3}{2} = t \ \ dx = 2dt,\ \ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 \\ \hline t & 2 & 3 \\ \hline \end{tabular} }\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (1,\ \ 3)\}) = \int_{-\infty}^{-1} \frac{2}{2\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \int_{ 2}^{3} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \phi(3) - \phi(2) [ tablice, program R] \approx 0,02140.}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> P = pnorm(3) - pnorm(2)
> P
[1] 0.02140023
Zadanie b
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty, \ \ a)\}) = 0,3. }\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty, \ \ a)\}) = \int_{-\infty}^{a} f_{X}(x)dx = \int_{-\infty}^{a} \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2^2}}e^{\left( -\frac{(x -(-3))^2}{ 2\cdot 2^2}\right)}dx }\)
Podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{x +3}{2} = t \ \ dx = 2dt,\ \ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x & -\infty & a \\ \hline t & -\infty & \frac{ a+3}{2} \\ \hline \end{tabular} }\)
\(\displaystyle{ P(\{ X \in (-\infty),\ \ a)\}) = \int_{-\infty}^{\frac{a+3}{2}} \frac{2}{2\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \int_{-\infty}^{\frac{a+3}{2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{t^2}{2}} dt = \phi\left( \frac{a+3}{2} \right) }\)
\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{a+3}{2} \right) = \phi^{-1}(0,3) [program R ] \approx \phi(-0.5244) }\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> qnorm(0.3)
[1] -0.5244005
\(\displaystyle{ \frac{a+3}{2} = -0,5244, }\)
\(\displaystyle{ a = -4,488 }\)
-
eldamiano22
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 7 sty 2019, o 19:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 4 razy