Sygnały pojawiają się zgodnie z procesem Poissona, a oczekiwana liczba sygnałów na jednostkę czasu wynosi \(\displaystyle{ λ}\). Obserwujemy proces od momentu \(\displaystyle{ T_0}\) do momentu
\(\displaystyle{ T_n}\) pojawienia się \(\displaystyle{ n}\)-tego sygnału, przy czym \(\displaystyle{ n}\) jest z góry ustaloną liczbą całkowitą
równą co najmniej 2. Wyznaczyć nieobciążony estymator parametru \(\displaystyle{ λ}\).
Znalazłem rozwiązanie dla podanego zadania, jednak mam problem ze zdefiniowaniem rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X=T_n-T_0}\). Znalazłem informację, iż jest to rozkład \(\displaystyle{ Γ(n,λ)}\). Nie do końca rozumiem dlaczego zmienna została tak określona. Jednak, jeśli tak, to podano estymator: \(\displaystyle{ \frac{n-1}{T_n-T_0} }\), wyliczając wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \frac{1}{T_n-T_0}}\) i domnażając przez współczynnik zależny od n, by uzyskać nieobciążoność. Samo działanie rozumiem, jednak nie rozumiem dlaczego nie można wybrać estymatora \(\displaystyle{ \frac{T_n-T_o}{n} }\). Wszak \(\displaystyle{ E(X)=λn}\), gdy \(\displaystyle{ X}\)~\(\displaystyle{ Γ(n,λ)}\), stąd \(\displaystyle{ E\left(\frac{T_n-T_o}{n} \right) = \frac{1}{n}E(X)= λ}\). Czy moje rozumowanie jest prawidłowe, a jeżeli nie, dlaczego?