statystyka dostateczna (rodzina rozkładów jednostajnych, beta, Pareto, dwumianowych ujemnych)

[klejdyszklaudia]

Niech \(\displaystyle{ X=(X_1,X_2,\dots,X_n)}\) będzie próbą z rozkładu cechy X. Wyznaczyć statystykę dostateczną dla rodziny rozkładów cechy X jeśli jest to:
1. Rodzina rozkładów jednostajnych na (a,b) gdzie \(\displaystyle{ (a,b)\in R}\)
2. Rodzina rozkładów beta B(p,q) gdzie \(\displaystyle{ p,q>0}\)
3. Rodzina rozkładów Pareto z parametrem \(\displaystyle{ \alpha>0}\) tj. o gęstości \(\displaystyle{ f(x)=\alpha/x^{\alpha+1} I_{(1,\infty)}(x)}\)
4. Rodzina rozkładów dwumianowych ujemnych z parametrami \(\displaystyle{ p\in (0,1)}\) i znanym \(\displaystyle{ r \in N}\).

[janusz47]

1.

Niech \(\displaystyle{ \vec{X} = (X_{1}. X_{2},...,X_{n})' }\) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na przedziale \(\displaystyle{ (a, b) = (0, \theta) }\) o gęstości względem miary Lebesque'a postaci

\(\displaystyle{ p(\theta) =..., \ \ \theta >0.}\)

Wówczas łączna gęstość wektora \(\displaystyle{ \vec{X} }\) względem miary produktowej Lebesque'a jest postaci

\(\displaystyle{ f_{\theta} (x_{1},x_{2},...,x_{n}) = ... }\)

Na mocy kryterium faktoryzacji statystyka

\(\displaystyle{ T(X_{1}, X_{2},...,X_{n}) = X_{n:n} }\) jest statystyką dostateczną.