łańcuch Markowa

[klejdyszklaudia]

Niech \(\displaystyle{ X_j, j=1,2,\dots}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie jednostajnym na zbiorze cyfr \(\displaystyle{ {0,1,\dots,9}}\) np. \(\displaystyle{ X_j(x)=x_j}\), gdzie dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\) mamy \(\displaystyle{ x= \sum_{j=1}^{\infty} \frac{x_j}{10^j} }\)w reprezentacji dziesiętnej. Definujemy indukcyjnie nowy łańuch Markowa \(\displaystyle{ Y_1=X_1}\), a dalej \(\displaystyle{ Y_{j+1}(\omega)=\begin{cases} max\{Y_j(\omega),X_{j+1}(\omega)\},\ o\ ile X_{j+1}(\omega) \ge 3,\\ 0,\ gdy\ X_{j+1}(\omega)<3 \end{cases} }\) dla \(\displaystyle{ j=1,2,\dots}\). Dla ustalonego \(\displaystyle{ k\in\{0,1,\dots,9\}}\) znajdź \(\displaystyle{ \lim_{ j\to \infty} P(Y_j=k)}\).