dystrybuanta warunkowa

[klejdyszklaudia]

Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych o średnich (wartościach oczekiwanych) \(\displaystyle{ \frac{1}{ \lambda_{X} } \frac{1}{ \lambda_{Y} } }\) odpowiednio. Znajdź rozkład \(\displaystyle{ Z=\min(X,Y)}\). Znajdź dystrybuantę warunkową \(\displaystyle{ Z}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ Z=X}\).

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}(\min\left\{X,Y\right\}\le z)=1-\mathbf{P}(\min\left\{X,Y\right\}>z)=1-\mathbf{P}(X>z, Y>z)}\)
i teraz można skorzystać z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X,Y}\).
No a od dystrybuanty \(\displaystyle{ Z}\) do gęstości już krótka droga, wystarczy zróżniczkować tam, gdzie można. Powinien wyjść rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda_{X}+\lambda_{Y}}}\)

[klejdyszklaudia]

Obliczyłam dystrybuantę Z, ale mam teraz problem z wyliczeniem dystrybuanty warunkowej. Od czego powinnam zacząć? Od wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe?