Początek stochastycznych równań różniczkowych

[miszazdr]

Mam za zadanie sprawdzić jakie stochastyczne równania różniczkowe spełniają:
1) \(\displaystyle{ aB_t + b}\)
2) \(\displaystyle{ e^{B_t}}\)
3) \(\displaystyle{ \sin ( B_t )}\),
gdzie \(\displaystyle{ B_t}\) to oczywiście ruch Browna.

Wyżej mam notkę o wzorze Ito dla ruchu Browna, ale ona jest dla całej listy 60 zadań.
Czy to zadanie sprowadza się po prostu do znalezienia równań pokroju \(\displaystyle{ X_t ' =aB_t + bX_t}\)?
czyli np odpowiedzią na 1) byłoby \(\displaystyle{ X_t ' = a}\), a dla 2) \(\displaystyle{ X_t ' = X_t}\)

Rozwiązywałem to patrząc na \(\displaystyle{ X_t}\) jak na \(\displaystyle{ y}\), a \(\displaystyle{ B_t}\) jako \(\displaystyle{ x}\) ze zwykłych równań różniczkowych

[janusz47]

Na przykład 2)

\(\displaystyle{ X_{t} = e^{B_{t}}, \ \ \{ B_{t}, \ \ t\geq 0\} }\) - ruch (proces) Browna.

Stosujemy wersję pierwszą równania Ito:

\(\displaystyle{ df(B_{t}) = f'(B_{t}) dB_{t} + \frac{1}{2}f^{''}(B_{t}) dt }\)

Rozpatrujemy funkcję

\(\displaystyle{ f(x) = e^{x}, \ \ f'(x) = e^{x}, \ \ f^{''}(x) = e^{x}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ d(e^{B_{t}}) = e^{B_{t}}d(B_{t}) + \frac{1}{2}e^{B_{t}}dt }\)

lub równoważnie, stosując podstawienie

\(\displaystyle{ X_{t} = e^{B_{t}}}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ dX_{t} = X_{t}d(B_{t}) + \frac{1}{2}X_{t} dt. }\)

Pozostałe przykłady rozwiązujemy w podobny sposób, korzystając z I wersji równania Ito.