wahania procesu Poissona

[mart96a]

Mam pytanie: Jakie są własności wahań procesu Poissona? Wiem, że proces Wienera ma własność, że są nieograniczone na każdym przedziale niestety nie wiem jak mam określić te drugie.

[janusz47]

Wahania trajektorii Procesu Poissona są skończone w każdym przedziale.

[Tmkk]

Dla procesu dyskretnego (z jakimiś tam założeniami, typu że ma być càdlàg), wahanie kwadratowe, czyli w \(\displaystyle{ L^2}\), na przedziale \(\displaystyle{ [0,T]}\) definiuje się jako sumę kwadratów wielości skoków na tym przedziale, czyli w przypadku procesu Poissona \(\displaystyle{ N_s}\)

\(\displaystyle{ \langle N \rangle_t = \sum_{0 \le s \le t} |\Delta N_s|^2}\).

I tu można sprawdzić, że \(\displaystyle{ \langle N \rangle_T = N_T}\). Podobnie, bardzo ważną własności jest, że dla procesu Wienera mamy \(\displaystyle{ \langle W \rangle_t = t}\), ale to pewnie już widziałaś.

W myśl tej definicji, wahanie w \(\displaystyle{ L^1}\) (czyli total variation - to, co proces Wienera ma nieograniczone na każdym przedziale), podejrzewam, że definiowałoby się jako po prostu sumę modułów wielkości skoków, czyli \(\displaystyle{ \sum_{0 \le s \le t} |\Delta N_s|}\), co tutaj w prosty sposób również daje \(\displaystyle{ N_t}\). Jednak tego nie znalazłem w literaturze, mimo wszystko byłaby to bardzo sensowna definicja.

[janusz47]

Innymi słowy, trajektorie procesu Poissona są niemalejące i przyjmują wahanie skończone na każdym przedziale.

Dodano po 41 minutach 5 sekundach:
Do poznania Procesu Poissona i jego praktycznych zastosowań, proponuję podręcznik:

PROCESY POISSONA I.F.C. KINGMAN. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2002.