Warunkowa wartość oczekiwana

[przemo9191]

Niech \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Zdefiniujmy:

\(\displaystyle{ X = 1 + Z_1,}\)

\(\displaystyle{ Y = 4 + Z_1 + \sqrt{3}Z_2}\).

Oblicz: \(\displaystyle{ E(X|Y=8)}\) oraz \(\displaystyle{ Var(X|Y=7)}\).

Jak można to najłatwiej obliczyć?

Dodano po 19 godzinach 35 minutach 55 sekundach:
Należy skorzystać ze wzorów:

\(\displaystyle{ E(X|Y=y) = E(X)+\frac{Cov(X,Y)}{Var(Y)}(y-E(Y))}\)

\(\displaystyle{ Var(X|Y=y) = Var(X)-\frac{Cov^2(X,Y)}{Var(Y)}}\)

[PLrc]

Sorry, że się wtrącę, ale zainteresowała mnie ta równość:

\(\displaystyle{ E(X|Y=y) = E(X)+\frac{Cov(X,Y)}{Var(Y)}(y-E(Y))}\)

Czy ona jest prawdziwa? Lewa strona to optymalna prognoza \(\displaystyle{ X}\) w oparciu o borelowską funkcję od \(\displaystyle{ Y}\) przy kwadratowej funkcji straty. Prawa strona to równanie regresji liniowej, czyli optymalna prognoza \(\displaystyle{ X}\) w oparciu o liniową funkcję \(\displaystyle{ Y}\). Ale czemu jedno miałoby być równe drugiemu?