Mam do policzenia takie prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P( W_3 > 2 W_2) }\)
proszę o wskazówki jak to rozpisać
prawdopodobieńswto proces Wienera
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: prawdopodobieńswto proces Wienera
Z własności procesu Wienera zmienna losowa
\(\displaystyle{ X = W_{3} - W_{2} \sim \mathcal{N}(0, 1) }\)
Z własności rozkładu normalnego zmienna losowa
\(\displaystyle{ Y = W_{3} - 2W_{2} \sim \mathcal{N}[ 0 + 0, \ \ 1^2\cdot 1^2 + 1^2\cdot (-2)^2] \sim \mathcal{N}(0, 5). }\)
Stąd
\(\displaystyle{ Pr( \{W_{3} > 2W_{2}\}) = Pr(\{W_{3} -2W_{2} > 0\}) = Pr(\{ Y > 0 \}) [ standaryzacja ] = Pr\left(\left \{ \frac{Y -0}{\sqrt{5}} > \frac{0 -0}{\sqrt{5}} \right \} \right) = Pr( \{ Z > 0\} ) =}\) \(\displaystyle{ = 1 - Pr(\{ Z \leq 0 \}) = 1 - \phi(0) = 0,5 .}\)
\(\displaystyle{ X = W_{3} - W_{2} \sim \mathcal{N}(0, 1) }\)
Z własności rozkładu normalnego zmienna losowa
\(\displaystyle{ Y = W_{3} - 2W_{2} \sim \mathcal{N}[ 0 + 0, \ \ 1^2\cdot 1^2 + 1^2\cdot (-2)^2] \sim \mathcal{N}(0, 5). }\)
Stąd
\(\displaystyle{ Pr( \{W_{3} > 2W_{2}\}) = Pr(\{W_{3} -2W_{2} > 0\}) = Pr(\{ Y > 0 \}) [ standaryzacja ] = Pr\left(\left \{ \frac{Y -0}{\sqrt{5}} > \frac{0 -0}{\sqrt{5}} \right \} \right) = Pr( \{ Z > 0\} ) =}\) \(\displaystyle{ = 1 - Pr(\{ Z \leq 0 \}) = 1 - \phi(0) = 0,5 .}\)