Niech \(\displaystyle{ W_{t+1}}\) oraz \(\displaystyle{ W_{s+4}}\) będą procesami Wienera. Obliczyć \(\displaystyle{ E(W_{t+1}W_{s+4}).}\)
Z góry dziękuję za odpowiedź.
Kowariancja
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Kowariancja
Dokonujemy przesunięcia (translacji) \(\displaystyle{ T( t' , s') = ( t+1, s+4), \ \ t+1 > s+4. }\)
Wtedy na podstawie własności (niezależności i ortogonalności) procesu Wienera - wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ W_{t+1}W_{s+4} }\) możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ E(W_{t+1}W_{s+4}) = E(W_{t'} W_{s'}) = E( W_{t'} - W_{s'} +W_{s'}|W_{s'}) = E(W_{t'}-W_{s'}|W_{s'}) + W_{s'} = E(W_{t'}-W_{s'})+ W_{s'} = 0 +W_{s'}= W_{s+4}.}\)
Wartość oczekiwana procesu Wienera ma wartość skończoną - proces Wienera jest martyngałem.
Wtedy na podstawie własności (niezależności i ortogonalności) procesu Wienera - wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ W_{t+1}W_{s+4} }\) możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ E(W_{t+1}W_{s+4}) = E(W_{t'} W_{s'}) = E( W_{t'} - W_{s'} +W_{s'}|W_{s'}) = E(W_{t'}-W_{s'}|W_{s'}) + W_{s'} = E(W_{t'}-W_{s'})+ W_{s'} = 0 +W_{s'}= W_{s+4}.}\)
Wartość oczekiwana procesu Wienera ma wartość skończoną - proces Wienera jest martyngałem.