Kowariancja

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
sabinaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 16 gru 2019, o 20:33
Płeć: Kobieta
wiek: 22

Kowariancja

Post autor: sabinaw »

Niech \(\displaystyle{ W_{t+1}}\) oraz \(\displaystyle{ W_{s+4}}\) będą procesami Wienera. Obliczyć \(\displaystyle{ E(W_{t+1}W_{s+4}).}\)
Z góry dziękuję za odpowiedź.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Kowariancja

Post autor: janusz47 »

Dokonujemy przesunięcia (translacji) \(\displaystyle{ T( t' , s') = ( t+1, s+4), \ \ t+1 > s+4. }\)

Wtedy na podstawie własności (niezależności i ortogonalności) procesu Wienera - wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ W_{t+1}W_{s+4} }\) możemy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ E(W_{t+1}W_{s+4}) = E(W_{t'} W_{s'}) = E( W_{t'} - W_{s'} +W_{s'}|W_{s'}) = E(W_{t'}-W_{s'}|W_{s'}) + W_{s'} = E(W_{t'}-W_{s'})+ W_{s'} = 0 +W_{s'}= W_{s+4}.}\)

Wartość oczekiwana procesu Wienera ma wartość skończoną - proces Wienera jest martyngałem.
ODPOWIEDZ