Zadanie dotyczące estymatora

[MariuszWypler]

Witam, mam problem z zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową taką, że \(\displaystyle{ E_{\theta}(X^2)<\infty}\). Niech \(\displaystyle{ X_1,\ldots X_n}\) będzie próbą z rozkładu tej zmiennej. Pokazać, że \(\displaystyle{ T(X_1,\ldots, X_n)=\sum_{i=1}^nc_iX_i}\), gdzie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}c_i=1}\) ,jest estymatorem nieobciążonym \(\displaystyle{ g(\theta)=E_{\theta}(X)}\).
Dla jakich \(\displaystyle{ c_i,\ i=1,\ldots,n}\) estymator jest najlepszy?

Pokazałem, że \(\displaystyle{ T}\) jest estymatorem nieobciążonym, ale nie wiem jak zrobić drugą część zadania. Próbowałem liczyć wariancję i na tej podstawie wyznaczyć \(\displaystyle{ c_i}\), ale utknąłem po drodze w rachunkach.

[janusz47]

Najlepszymi liniowymi, nieobciążonymi estymatorami Best Linear Unbiased Estimator (BLUE)) są EMNK i EMNW parametrów \(\displaystyle{ c_{i}, \ \ i=1,2,3,...,n }\)

Z nieobciążoności i własności wariancji wynika, że

\(\displaystyle{ Var[\hat{t}( \vec{c}, \vec{x})]= Var \left(\sum_{i=1}^{n}c_{i}x_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}c_{i}^2Var(x_{i}) }\)

Należy więc znaleźć minimum funkcji \(\displaystyle{ f(\vec{c})= \sum_{i=1}^{n}c^2_{i} }\)

przy ograniczeniu: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}c_{i} = 1. }\)

Stosując na przykład metodę mnożników Lagrange'a można wykazać, że \(\displaystyle{ \forall_{i} \hat{c}_{i} = \frac{1}{n}, \ \ i= 1,2,...,n. }\)

Estymator jest najlepszy dla \(\displaystyle{ \hat{c}_{i} = \frac{1}{n}, \ \ i = 1,2,3,...,n.}\)