Matematyka.pl

Witam,
czy mogę prosić o pomoc z poniższym zadaniem?

Zamierza przeprowadzić się ankietę w celu oszacowania odsetka rodzin pragnących mieć internet światłowodowy.

a) Ile rodzin należy wylosować do próby, aby przy współczynniku ufności 0,98 uzyskać nie dłuższy niż 6% przedział ufności dla odsetka rodzin, które chciałyby posiadać Internet światłowodowy?

b) Czy można zmniejszyć koszty i czas przeprowadzenia ankiety, jeśli w poprzednim badaniu otrzymano 12% i wstępnie zakładamy, że bez przeprowadzonej akcji marketingowej ów odsetek nie zmieni się więcej (na plus lub na minus) niż o 5 punktów procentowych?

Pozdrawiam,

a)
Ilość rodzin, które należy wylosować oznaczamy przez \(\displaystyle{ n, n \in \NN_{+}.}\)

Z podanej wartości współczynnika ufności \(\displaystyle{ 1 -\alpha = 0,98, \ \ \alpha = 0,02 }\) wyznaczamy wartość kwantyla rzędu \(\displaystyle{ \alpha = 0,02 }\) standaryzowanego rozkładu normalnego \(\displaystyle{ z_{\alpha} }\) dla dwustronnego przedziału ufności

\(\displaystyle{ 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,01 = 0,99.}\)

Z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R odczytujemy

\(\displaystyle{ z_{\alpha} = z_{0,02} \approx 2,33. }\)

Z danej długości przedziału ufności dla frakcji rodzin ankietowanych

\(\displaystyle{ 2,33 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq 0,06. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{p(1-p)}{n} \leq 7\cdot 10^{-4} = \frac{1}{\frac{10^4}{7}}. }\)

\(\displaystyle{ n \geq \frac{10^4}{7} = 1429 }\) rodzin.

Należy wylosować co najmniej \(\displaystyle{ 1429 }\) rodzin.

b)
Zwiększając przedział ufności do \(\displaystyle{ 12\% }\) (dwukrotnie), przy stałym poziomie ufności \(\displaystyle{ 0,98}\) zmniejsza się liczebność próby \(\displaystyle{ n,}\) tym samym zmniejszają się koszty i czas przeprowadzenia ankiety.