Matematyka.pl

Dzień dobry,
potrzebuje sprawdzić czy estymator z rozkładu Rayleigha który obliczłem według metody największej wiarygodności \[\alpha=\sqrt{\frac{1}{2n}\sum^{n}_{i=1}x_{i}^{2}},\] ale nie wiem jak się za to zabrać, chodzi mi o konkretne obliczenia. Także chciałbym zapytać o to jak obliczyć wariancję tego estymatora korzystając z łącznej gęstości prawdopodobieństwa (nie chodzi o tw. Cramera-Rao).

Pozdrawiam i z góry dziękuję za odpowiedź.

Estymator \(\displaystyle{ \hat{\alpha} = \sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x^2_{i}} }\) ( uzyskany metodą największej wiarygodności (MNW) jest wyznaczony poprawnie

Wariancja tego estymatora

\(\displaystyle{ \hat{\alpha^2} = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}.}\)

Pokażemy, że estymator

\(\displaystyle{ \hat{\alpha^2}= \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2},}\)

jest nieobciążonym estymatorem wariacji \(\displaystyle{ \alpha^2 }\) rozkładu Rayleigha.

\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha}^2) = E\left (\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) = \frac{1}{2n} E \left ( \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} E(x^2_{i}) }\)

Korzystamy ze wzorów na wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Rayleigha dla pojedynczej próby.

Wypadałoby te wzory wyprowadzić - na podstawie definicji wartości oczekiwanej i wariancji dla zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym.

\(\displaystyle{ E(x_{i}) = \alpha \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \ \ Var(x_{i}) = \left(\frac{4 -\pi}{2}\right) \alpha^2.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ E(x^2_{i}) = Var(x_{i}) + E(x_{i})^2 = \left(\frac{4 -\pi}{2}\right) \alpha^2 + \frac{\pi}{2}\alpha^2 = 2\alpha^2. }\)

\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha^2}) = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} E(x^2_{i}) = \frac{1}{2n}\cdot n \cdot 2\alpha^2 = \alpha^2. }\)

\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha^2}) = \alpha^2. }\)

Estymator \(\displaystyle{ \hat{\alpha^2} }\) jest nieobciążonym estymatorem wariancji rozkładu Rayleigha.
c.n.d.

Obliczamy błąd średniokwadratowy jednego i drugiego estymatora od wartości dokładnej parametru \(\displaystyle{ \theta. }\)