Dzień dobry,
potrzebuje sprawdzić czy estymator z rozkładu Rayleigha który obliczłem według metody największej wiarygodności \[\alpha=\sqrt{\frac{1}{2n}\sum^{n}_{i=1}x_{i}^{2}},\] ale nie wiem jak się za to zabrać, chodzi mi o konkretne obliczenia. Także chciałbym zapytać o to jak obliczyć wariancję tego estymatora korzystając z łącznej gęstości prawdopodobieństwa (nie chodzi o tw. Cramera-Rao).
Pozdrawiam i z góry dziękuję za odpowiedź.
Obciążenie estymatora
Obciążenie estymatora
Ostatnio zmieniony 15 maja 2020, o 23:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Obciążenie estymatora
Estymator \(\displaystyle{ \hat{\alpha} = \sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x^2_{i}} }\) ( uzyskany metodą największej wiarygodności (MNW) jest wyznaczony poprawnie
Wariancja tego estymatora
\(\displaystyle{ \hat{\alpha^2} = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}.}\)
Pokażemy, że estymator
\(\displaystyle{ \hat{\alpha^2}= \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2},}\)
jest nieobciążonym estymatorem wariacji \(\displaystyle{ \alpha^2 }\) rozkładu Rayleigha.
\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha}^2) = E\left (\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) = \frac{1}{2n} E \left ( \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} E(x^2_{i}) }\)
Korzystamy ze wzorów na wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Rayleigha dla pojedynczej próby.
Wypadałoby te wzory wyprowadzić - na podstawie definicji wartości oczekiwanej i wariancji dla zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym.
\(\displaystyle{ E(x_{i}) = \alpha \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \ \ Var(x_{i}) = \left(\frac{4 -\pi}{2}\right) \alpha^2.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ E(x^2_{i}) = Var(x_{i}) + E(x_{i})^2 = \left(\frac{4 -\pi}{2}\right) \alpha^2 + \frac{\pi}{2}\alpha^2 = 2\alpha^2. }\)
\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha^2}) = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} E(x^2_{i}) = \frac{1}{2n}\cdot n \cdot 2\alpha^2 = \alpha^2. }\)
\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha^2}) = \alpha^2. }\)
Estymator \(\displaystyle{ \hat{\alpha^2} }\) jest nieobciążonym estymatorem wariancji rozkładu Rayleigha.
c.n.d.
Wariancja tego estymatora
\(\displaystyle{ \hat{\alpha^2} = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}.}\)
Pokażemy, że estymator
\(\displaystyle{ \hat{\alpha^2}= \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2},}\)
jest nieobciążonym estymatorem wariacji \(\displaystyle{ \alpha^2 }\) rozkładu Rayleigha.
\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha}^2) = E\left (\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) = \frac{1}{2n} E \left ( \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} E(x^2_{i}) }\)
Korzystamy ze wzorów na wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Rayleigha dla pojedynczej próby.
Wypadałoby te wzory wyprowadzić - na podstawie definicji wartości oczekiwanej i wariancji dla zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym.
\(\displaystyle{ E(x_{i}) = \alpha \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \ \ Var(x_{i}) = \left(\frac{4 -\pi}{2}\right) \alpha^2.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ E(x^2_{i}) = Var(x_{i}) + E(x_{i})^2 = \left(\frac{4 -\pi}{2}\right) \alpha^2 + \frac{\pi}{2}\alpha^2 = 2\alpha^2. }\)
\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha^2}) = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} E(x^2_{i}) = \frac{1}{2n}\cdot n \cdot 2\alpha^2 = \alpha^2. }\)
\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha^2}) = \alpha^2. }\)
Estymator \(\displaystyle{ \hat{\alpha^2} }\) jest nieobciążonym estymatorem wariancji rozkładu Rayleigha.
c.n.d.