Moc testu.
-
pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Moc testu.
Mam problem z takim zadaniem. Mamy jedną obserwację \(\displaystyle{ X}\), który ma rozkład prawdopodobieństwa o gęstości \(\displaystyle{ f_a(x)=\frac{1}{a}e^{\frac{-x}{a}}}\), dla \(\displaystyle{ x >0}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\) w pozostałych przypadkach. Weryfikujemy hipotezę \(\displaystyle{ H_0:a=10}\) przy alternatywie \(\displaystyle{ H_1:a>10}\) na podstawie testu o obszarze krytycznym \(\displaystyle{ K=\{x:x>k_{\alpha}\}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ k_{\alpha}}\) aby test był ma poziomie istotności \(\displaystyle{ 0,01}\). Jaka jest moc testu jeśli alternatywa jest równa \(\displaystyle{ 20}\).
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Moc testu.
Pojedyncza obserwacja
\(\displaystyle{ X\sim f(x) = \begin{cases} f_{a}(x) = \frac{1}{a}e^{=\frac{x}{a}}, \ \ \mbox{gdy} \ \ x > 0 \\ 0, \ \ \mbox{gdy } \ \ x \leq 0 \end{cases} }\)
Hipotezy
\(\displaystyle{ H_{0}: a = 10, }\)
\(\displaystyle{ H_{1}: a > 10. }\)
Na podstawie ilorazu Neumana-Pearsona - konstruujemy test najmocniejszy
\(\displaystyle{ \frac{f_{1}(x)}{f_{0}(x)}= \frac{\frac{1}{a_{1}} e ^{-\frac{x}{a_{1}}}}{\frac{1}{a_{0}} e^{-\frac{x}{a_{0}}}} = \frac{a_{0}}{a_{1}}e^{\left( \frac{x}{a_{0}} - \frac{x}{a_{1}}\right)} > c_{2} \rightarrow x \left( \frac{1}{a_{0}} - \frac{1}{a_{1}} \right) > c_{1} \rightarrow x > c, }\)
bo
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{a_{0}} -\frac{1}{a_{1}} \right) > 0.}\)
Obszar krytyczny testu
\(\displaystyle{ \mathcal{K} = \{ x\in \RR_{+}: \ \ x>c \} .}\)
Pozostaje dobrać stałą \(\displaystyle{ c. }\)
\(\displaystyle{ \alpha = 0,01 = Pr(\delta =10| H_{0}) = \int_{0}^{c} \frac{1}{10}e^{-\frac{x}{10}}dx = \left(1 - e^{-\frac{c}{10}}\right) }\)
Stąd
\(\displaystyle{ e^{-c} = 1 -0,01 = 0,99, }\)
\(\displaystyle{ c = -\ln(0,99) = \ln\left(\frac{100}{99}\right) }\)
Ostatecznie możemy zapisać obszar krytyczny testu w postaci
\(\displaystyle{ \mathcal{K} = \left\{ x\in \RR_{+}: \ \ x > \ln \left(\frac{100}{99}\right) \right \},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ k_{\alpha}= k_{0,01} = \ln \left(\frac{100}{99}\right) \approx 0,01 }\)
Obliczamy moc testu dla hipotezy alternatywnej
\(\displaystyle{ H_{1} : a = 20. }\)
\(\displaystyle{ Pr(\delta =10 |H_{1}) = \int_{\ln\left(\frac{100}{99}\right)}^{\infty} \frac{1}{20}e^{-\frac{x}{20}} dx = \left[ -e^{-\frac{x}{20}}\right]_{\ln\left(\frac{100}{99}\right)}^{\infty} = e^{-\frac{1}{20} \ln\left(\frac{100}{99}\right)} = e^{\frac{1}{20} \ln\left( \frac{99}{100}\right)} = \sqrt[20]{\frac{99}{100}}.}\)
\(\displaystyle{ X\sim f(x) = \begin{cases} f_{a}(x) = \frac{1}{a}e^{=\frac{x}{a}}, \ \ \mbox{gdy} \ \ x > 0 \\ 0, \ \ \mbox{gdy } \ \ x \leq 0 \end{cases} }\)
Hipotezy
\(\displaystyle{ H_{0}: a = 10, }\)
\(\displaystyle{ H_{1}: a > 10. }\)
Na podstawie ilorazu Neumana-Pearsona - konstruujemy test najmocniejszy
\(\displaystyle{ \frac{f_{1}(x)}{f_{0}(x)}= \frac{\frac{1}{a_{1}} e ^{-\frac{x}{a_{1}}}}{\frac{1}{a_{0}} e^{-\frac{x}{a_{0}}}} = \frac{a_{0}}{a_{1}}e^{\left( \frac{x}{a_{0}} - \frac{x}{a_{1}}\right)} > c_{2} \rightarrow x \left( \frac{1}{a_{0}} - \frac{1}{a_{1}} \right) > c_{1} \rightarrow x > c, }\)
bo
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{a_{0}} -\frac{1}{a_{1}} \right) > 0.}\)
Obszar krytyczny testu
\(\displaystyle{ \mathcal{K} = \{ x\in \RR_{+}: \ \ x>c \} .}\)
Pozostaje dobrać stałą \(\displaystyle{ c. }\)
\(\displaystyle{ \alpha = 0,01 = Pr(\delta =10| H_{0}) = \int_{0}^{c} \frac{1}{10}e^{-\frac{x}{10}}dx = \left(1 - e^{-\frac{c}{10}}\right) }\)
Stąd
\(\displaystyle{ e^{-c} = 1 -0,01 = 0,99, }\)
\(\displaystyle{ c = -\ln(0,99) = \ln\left(\frac{100}{99}\right) }\)
Ostatecznie możemy zapisać obszar krytyczny testu w postaci
\(\displaystyle{ \mathcal{K} = \left\{ x\in \RR_{+}: \ \ x > \ln \left(\frac{100}{99}\right) \right \},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ k_{\alpha}= k_{0,01} = \ln \left(\frac{100}{99}\right) \approx 0,01 }\)
Obliczamy moc testu dla hipotezy alternatywnej
\(\displaystyle{ H_{1} : a = 20. }\)
\(\displaystyle{ Pr(\delta =10 |H_{1}) = \int_{\ln\left(\frac{100}{99}\right)}^{\infty} \frac{1}{20}e^{-\frac{x}{20}} dx = \left[ -e^{-\frac{x}{20}}\right]_{\ln\left(\frac{100}{99}\right)}^{\infty} = e^{-\frac{1}{20} \ln\left(\frac{100}{99}\right)} = e^{\frac{1}{20} \ln\left( \frac{99}{100}\right)} = \sqrt[20]{\frac{99}{100}}.}\)