Funkcja tworząca momenty

[pilnystudeent]

Mam funkcje tworzącą momenty zmiennej \(\displaystyle{ X \sim \Gamma(\lambda,k)}\) o rozkładzie gamma, daną wzorem
\(\displaystyle{ M_{X}(t) = (\frac{\lambda} {\lambda - t})^k}\)
W jaki sposób mogę policzyć z niej trzeci moment centralny ten zmiennej?
Wiem, że powinnam liczyć pochodne ale co podstawić za t?

Proszę o pomoc i z góry dziękuję!

[Premislav]

No trzecia pochodna w \(\displaystyle{ t=0}\).

[pilnystudeent]

No trzecia pochodna w \(\displaystyle{ t=0}\).

i to odrazu już będzie moment centralny czy zwykły?

[Premislav]

A nie, nie będzie, nie doczytałem słówka „centralny".
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X-\mu)^{3}=\mathbf{E}\left(X^{3}-3X^{2}\mu+3X\mu^{2}-\mu^{3}\right)=\mathbf{E}\left(X^{3}\right)-3\mu \mathbf{E}\left(X^{2}\right)+3\mu^{2}\mathbf{E}X-\mu^{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mu}\) to też wartość oczekiwana zmiennej o rozkładzie gamma \(\displaystyle{ ( \lambda, k)}\).
W sumie mogłem napisać też \(\displaystyle{ \mathbf{E}X}\) zamiast \(\displaystyle{ \mu}\), ale tak byłoby mniej czytelnie. Te parametry też dostajesz, różniczkując funkcję tworząca momenty i wstawiając \(\displaystyle{ t=0}\).