Metoda najmniejszych kwadratów w celu wyznaczenia nieznanych parametrów

[Nadine]

Dzień dobry, trochę się zgubiłam pisząc raport.
Mianowice, badam przyśpieszenie korzystając z równi i grzęznę na czymś takim.
Mam zawrzeć:
Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów w celu wyznaczenia nieznanych parametrów wybranego modelu teoretycznego oraz korelacji między nimi, dla każdego z kątów nachylenia równi.

Z tym ,że model wygląda tak

\(\displaystyle{ s=v_{0} \cdot t + \frac{a}{2} \cdot t^2}\)

a ja mam do dyspozycji \(\displaystyle{ s}\) oraz \(\displaystyle{ t}\).
Jak mogę to tutaj zastosować?

[janusz47]

Funkcję drogi w ruchu jednostajnie przyśpieszonym ciała po równi pochyłej

\(\displaystyle{ s = v_{0}t + \frac{1}{2}a t^2 }\)

sprowadzamy do funkcji liniowej

\(\displaystyle{ \frac{s}{t} = v_{0} + \frac{1}{2}a t. }\)

Wprowadzamy oznaczenia parametrów MNK

\(\displaystyle{ y = \frac{s}{t}, \ \ a_{0} = v_{0}, \ \ a_{1} = \frac{1}{2}a, }\)

stąd otrzymujemy równanie prostej

\(\displaystyle{ y = a_{0} + a_{1} t. }\)

Dane pomiarowe :

\(\displaystyle{ (t_{1}, \ \ s_{1}, \ \ u_{1}), ( t_{2}, \ \ s_{2}, \ \ u_{2}), ...,( t_{N}, \ \ s_{N}, \ \ u_{N}). }\)

Parametry modelu obliczamy na podstawie wzorów na wartości współczynników regresji liniowej (wzory można wyprowadzić patrz np. (*))

\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{S\cdot S_{xy} - S_{x} \cdot S_{y}}{\Delta}, \ \ a_{0} = \frac{S_{xx}\cdot S_{y} - S_{x} \cdot S_{yy}}{\Delta} }\)

\(\displaystyle{ u_{a_{1}} = \sqrt{\frac{S}{\Delta}}, \ \ u_{a_{0}} = \sqrt{\frac{S_{xx}}{\Delta}}, }\)

\(\displaystyle{ S = \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{u^2_{i}} , \ \ S_{x} = \sum_{i=1}^{N}\frac{t_{i}}{u^2_{i}}, \ \ S_{y}= \sum_{i=1}^{N}\frac{s_{i}}{u^2_{i}}, \ \ S_{xx} = \sum_{i= 1}^{N} \frac{t^2_{i}}{u^2_{i}}, \ \ S_{xy} = \sum_{i=1}^{N}\frac{t_{i} s_{i}}{u^2_{i}}, \ \ \Delta = S\cdot S_{xx} - S^2_{x}.}\)

Kowariancja i współczynnik korelacji

\(\displaystyle{ s_{a_{1}a_{0}}= - \frac{S_{x}}{\Delta}, \ \ r_{a_{1}a_{0}} = -\frac{S_{x}}{\sqrt{S\cdot S_{xx}}}.}\)


(*) Andrzej Bielski, Roman Ciuryło. PODSTAWY METOD OPRACOWANIA POMIARÓW. Wydawnictwo UMK Toruń 2001.

[micd]

Ciekawe podejście. Czy daje ono coś ekstra w stosunku do podejścia, jakie ja bym zastosował, i pozwolę je sobie nazwać "standardowym"? Standardowym, przynajmniej jeśli chodzi o regresję liniową a nie metody opracowania pomiarów, bo na tych się nie znam.

Tzn. traktując \(\displaystyle{ \frac{1}{2}t^2}\) jako nową zmienną \(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}t^2}\), otrzymujemy zależność liniową ze względu na dwie zmienne: \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ z}\).

Model przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ s = v_{0}t + a z }\)

Wprowadzamy wszystkie obserwacje do dowolnego programu liczącego regresję liniową, do trzech kolumn: s, t, z. Robimy regresję gdzie zmienną celu jest s, a zmiennymi objaśniającymi pozostałe dwie zmienne. W wyniku otrzymujemy parametry \(\displaystyle{ v_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ a}\), i w zależności od programu, korelacje między nimi.

To podejście jest o tyle bardziej uniwersalne, że gdyby dodać do modelu \(\displaystyle{ t}\) w 3-ciej i dowolnej kolejnej potędze, to również będzie je można zastosować.

Michał

[janusz47]

Można, ale pod jednym warunkiem, że obliczenie \(\displaystyle{ t^2 }\) (kwadratu, czy wyższych potęg) nie powoduje dużych błędów zaokrągleń.