Hej, bardzo prosiłbym o pomoc z tymi zadaniami:
1. Pewien schemat składa się z \(\displaystyle{ 2000}\) jednakowych elementów o niezawodności \(\displaystyle{ 0,995}\) każdy. Elementy te ulegają awarii niezaleznie od siebie. Schemat przestaje działać, gdy awarii ulegną co najmniej 4 elementy. Obliczyc prawdopodobieństwo tego zdarzenia (wartość dokładną oraz korzystając z przybliżenia rozkładem Poissona).
Tutaj nie wiem jakim sposobem obliczyć wartość dokładną oraz jak wyliczyć parametr w rozkładzie Poissona.
2. Na podstawie badan stwierdzono, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) opisująca procent zanieczyszczen w próbce rudy miedzi ma rozkład ciągły o gęstości
\(\displaystyle{ f_{X} (x)= \begin{cases} 12x ^{2}(1-x), &x \in [0,1] \\ 0, &w p.p. \end{cases}}\)
Wybrano niezależnie 4 próbki. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że:
(a) dokładnie jedna próbka zawiera ponad połowę zanieczyszczeń;
(b) co najmniej jedna próbka zawiera ponad połowę zanieczyszczeń.
Tego zupełnie nie umiem ruszyć - nie wiem jaki to typ rozkladu, jakie wzory tutaj pasują i co z nimi zrobić.
Zadania z rozkładu prawdopodobieństwa
-
jestemdebilem
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 15 maja 2019, o 20:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Zadania z rozkładu prawdopodobieństwa
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2020, o 18:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Zadania z rozkładu prawdopodobieństwa
Zadanie 1
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}(p = 0,05,\ \ n =2000)}\)
\(\displaystyle{ Pr(\{X\geq 4 \}) = 1 - Pr(\{X < 4\}) = 1 - ( Pr(\{X =0\} + Pr(\{X = 1\}) + Pr(\{ X=2\}) + P(\{ X = 3\}) }\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ X \geq 4\}) = 1 - \left( {2000\choose 0} 0,005^{0} \cdot 0,995^{2000} +{2000\choose 1} 0,005^{1}\cdot 0,995^{1999} + {2000\choose 2} 0,005^{2} \cdot 0,995^{1998} + \\ + {2000\choose 3} 0,005^{3} \cdot 0,995^{1997} \right )=...}\)
\(\displaystyle{ Y \sim \mathcal{P}oisson( \lambda = 2000\cdot 0,005 = 10) }\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ Y \geq 4\}) = 1 - Pr(\{Y< 4\}) = 1 - ( Pr(\{Y =0\} + Pr(\{Y = 1\}) + Pr(\{ Y=2\}) + P(\{ Y = 3\}) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ Pr(\{ Y=k\}) = \frac{10^{k}}{k!} e^{-10}, \ \ k = 0, 1, 2, 3.}\)
Zadanie 2
a)
Model - Schemat Bernoulliego
sukces - procent zanieczyszczeń jest większy niż \(\displaystyle{ 50\% }\) czyli zachodzi zdarzenie \(\displaystyle{ \{ X > 0,5 \}}\)
\(\displaystyle{ p = Pr(\{ X > 0,5\}) = 1 - Pr(\{X \leq 0,5\}) = 1 - \int_{0}^{\frac{1}{2}} 12x^2( 1- x) dx =...}\)
b)
\(\displaystyle{ p = ..., \ \ n = 4. }\)
Niech \(\displaystyle{ Y }\) oznacza ilość próbek z więcej niż \(\displaystyle{ 50\% }\) zanieczyszczeń wśród \(\displaystyle{ n = 4 }\) badanych (czyli
ilość sukcesów w \(\displaystyle{ n = 4 }\) próbach).
Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y }\) ma rozkład Bernoulliego \(\displaystyle{ \mathcal{B} ( n = 4, \ \ p= ...) }\)
\(\displaystyle{ P(\{Y = k\}) = {4\choose k}p^{k} (1 -p)^{4 -k}, \ \ k = 0,1,2,3,4. }\)
\(\displaystyle{ P(\{Y \geq 1 \}) = 1 - P\{(Y = 0\}) = {4\choose 0}p^{0} \cdot (1 - p)^{4} =...}\)
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}(p = 0,05,\ \ n =2000)}\)
\(\displaystyle{ Pr(\{X\geq 4 \}) = 1 - Pr(\{X < 4\}) = 1 - ( Pr(\{X =0\} + Pr(\{X = 1\}) + Pr(\{ X=2\}) + P(\{ X = 3\}) }\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ X \geq 4\}) = 1 - \left( {2000\choose 0} 0,005^{0} \cdot 0,995^{2000} +{2000\choose 1} 0,005^{1}\cdot 0,995^{1999} + {2000\choose 2} 0,005^{2} \cdot 0,995^{1998} + \\ + {2000\choose 3} 0,005^{3} \cdot 0,995^{1997} \right )=...}\)
\(\displaystyle{ Y \sim \mathcal{P}oisson( \lambda = 2000\cdot 0,005 = 10) }\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ Y \geq 4\}) = 1 - Pr(\{Y< 4\}) = 1 - ( Pr(\{Y =0\} + Pr(\{Y = 1\}) + Pr(\{ Y=2\}) + P(\{ Y = 3\}) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ Pr(\{ Y=k\}) = \frac{10^{k}}{k!} e^{-10}, \ \ k = 0, 1, 2, 3.}\)
Zadanie 2
a)
Model - Schemat Bernoulliego
sukces - procent zanieczyszczeń jest większy niż \(\displaystyle{ 50\% }\) czyli zachodzi zdarzenie \(\displaystyle{ \{ X > 0,5 \}}\)
\(\displaystyle{ p = Pr(\{ X > 0,5\}) = 1 - Pr(\{X \leq 0,5\}) = 1 - \int_{0}^{\frac{1}{2}} 12x^2( 1- x) dx =...}\)
b)
\(\displaystyle{ p = ..., \ \ n = 4. }\)
Niech \(\displaystyle{ Y }\) oznacza ilość próbek z więcej niż \(\displaystyle{ 50\% }\) zanieczyszczeń wśród \(\displaystyle{ n = 4 }\) badanych (czyli
ilość sukcesów w \(\displaystyle{ n = 4 }\) próbach).
Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y }\) ma rozkład Bernoulliego \(\displaystyle{ \mathcal{B} ( n = 4, \ \ p= ...) }\)
\(\displaystyle{ P(\{Y = k\}) = {4\choose k}p^{k} (1 -p)^{4 -k}, \ \ k = 0,1,2,3,4. }\)
\(\displaystyle{ P(\{Y \geq 1 \}) = 1 - P\{(Y = 0\}) = {4\choose 0}p^{0} \cdot (1 - p)^{4} =...}\)