Pokaż, że statystyka nie jest swobodna

[golddust]

Niech \(\displaystyle{ Z = ((X_1,Y_1),...,(X_n,Y_n))}\) będzie próbą prostą z rozkładu \(\displaystyle{ N_2(0,A)}\), gdzie 0 oznacza oczywiście wektor zerowy i \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix}
1 \ \theta\\
\theta \ 1 \end{bmatrix}.}\)
Dane są statystyki \(\displaystyle{ T_1(Z) = \sum_{i=1}^n X_i^2}\), \(\displaystyle{ T_2(Z) = \sum_{i=1}^n Y_i^2}\), \(\displaystyle{ T = (T_1,T_2)}\). Należy pokazać, że statystyka \(\displaystyle{ T}\) nie jest swobodna.

Po drodze doszedłem do tego, że
\(\displaystyle{ A^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{1-\theta^2} \ \frac{\theta}{\theta^2-1} \\
\frac{\theta}{\theta^2-1} \ \frac{1}{1-\theta^2} \end{bmatrix}.}\)
więc gęstością wektora \(\displaystyle{ (X_i,Y_i)}\) jest
\(\displaystyle{ f_{(X_i,Y_i)}(x,y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\theta^2}} \exp (-\frac{1}{2}(\frac{x^2}{1-\theta^2} + \frac{y^2}{1-\theta^2} + \frac{2\theta xy}{\theta^2-1})}\)
a więc gęstością \(\displaystyle{ Z}\)
\(\displaystyle{ f_{Z}(x_1,y_1,...,x_n,y_n) = \frac{1}{(2\pi\sqrt{1-\theta^2})^n} \exp (-\frac{1}{2}(\frac{1}{1-\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 + \frac{1}{1-\theta^2} \sum_{i=1}^n y_i^2+ \frac{2\theta}{\theta^2-1} \sum_{i=1}^n x_iy_i) }\)

Statystyki \(\displaystyle{ T_1,T_2}\) są swobodne, bo mają rozkłady chi kwadrat o stopniu swobody \(\displaystyle{ n}\), a więc niezależne od parametru \(\displaystyle{ \theta}\). To dlatego, że zmienne \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) są niezależne i każda z nich ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\) (i to samo z \(\displaystyle{ Y_1,...,Y_n}\)).

Z \(\displaystyle{ T}\) jest już trudniej. Statystyki (zmienne) \(\displaystyle{ T_1,T_2}\) nie są niezależne, bo \(\displaystyle{ X_i,Y_i}\) nie są niezależne dla żadnego \(\displaystyle{ i}\) (byłyby niezależne tylko w przypadku, gdy macierz \(\displaystyle{ A}\) byłaby diagonalna, czyli gdy \(\displaystyle{ \theta=0}\)). Rozsądne wydaje się więc znalezienie rozkładu \(\displaystyle{ T}\) bazując na znanym nam rozkładzie \(\displaystyle{ Z}\) (na przykład całkując gęstość \(\displaystyle{ Z}\)), jednak nie wiem jak to uczynić. Nawet dla \(\displaystyle{ n=1}\) nie wiem jak znaleźć rozkład \(\displaystyle{ (X_1^2,Y_1^2)}\).

[janusz47]

Jak wykazałeś elegancko

Statystyki \(\displaystyle{ T_{1}, T_{2} }\) - oddzielnie są swobodne.

Aby wykazać , że statystyka łączna \(\displaystyle{ T = (T_{1}, T_{2}) }\) jest nieswobodna, wystarczy wykazać, że

\(\displaystyle{ corr(T) = corr((T_{1}, T_{2})) = \rho^2 }\) zależy od \(\displaystyle{ \rho.}\)