Czy mógłby ktoś wyjaśnić mi jak krok po kroku rozwiązać to zadanie?
Badano dokładność karabinu wz 98 a. Oddano \(\displaystyle{ 10}\) strzałów na odległość \(\displaystyle{ 200}\) metrów. Każdy pomiar to odległość od środka. Wartość średnia z \(\displaystyle{ 10}\) strzałów to \(\displaystyle{ 4\, cm}\). Odchylenie standardowe wyliczone z \(\displaystyle{ 10}\) strzałów \(\displaystyle{ = 10\,cm}\). Zweryfikuj hipotezę, że ta broń nie spełnia warunków precyzji nowych karabinów. Norma mówi, że odchylenie standardowe powinno być równe \(\displaystyle{ 8\, cm}\). Poziom istotności \(\displaystyle{ \alpha= 0,05}\).
zadanie ze statystyki
zadanie ze statystyki
Ostatnio zmieniony 18 mar 2020, o 18:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: zadanie ze statystyki
Test istotności dla hipotezy o wariancji (odchyleniu standardowym) - zmiennej losowej o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ \mathcal{N}(m, \sigma)}\) o nieznanych wartościach parametrów.
Hipoteza zerowa \(\displaystyle{ H_{0} }\) zakłada, że wariancja karabinów wzór 98a \(\displaystyle{ \sigma^2 }\) jest równa wariancji hipotetycznej \(\displaystyle{ \sigma^2_{0} = 64 \ \ cm^2 }\)
\(\displaystyle{ H_{0}: \sigma^2 = \sigma^2_{0} = 64 \ \ cm^2 }\)
Hipoteza alternatywna \(\displaystyle{ H_{1} }\) - przeciwstawna najczęściej ma postać
\(\displaystyle{ H_{1}: \sigma^2 > \sigma^2_{0} , }\)
co oznacza, że wariancja karabinów wzór 98a jest większa od hipotetycznej.
Sprawdzianem próby o liczebności \(\displaystyle{ n = 10 }\) oddanych strzałów jest statystyka określona wzorem
\(\displaystyle{ \chi^2 = \frac{(n-1)\hat{S}}{\sigma^2_{0}}. }\)
Wartość tej statystyki dla danych z próby wynosi
\(\displaystyle{ \chi^2 = \frac{(10-1) \cdot10^2}{8^2} \approx 14,062.}\)
Przy założeniu prawdziwości hipotezy \(\displaystyle{ H_{0} }\) statystyka ta ma rozkład dokładny \(\displaystyle{ \chi^2 }\)o \(\displaystyle{ \nu = n-1 = 10 -1 = 9. }\) liczbie swobody.
Obszar krytyczny w rozkładzie tej statystyki dla przyjętej hipotezy alternatywnej wyznaczamy z zależności
\(\displaystyle{ P(\{\chi^2 \geq \chi^2_{\alpha}\}) = \alpha }\)
\(\displaystyle{ P( \{ \chi^2 \geq \chi^2_{0,05} \}) = 0,05.}\)
Z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2 }\) odczytujemy \(\displaystyle{ \chi^2(9; 0,05) = 16.919. }\)
Wartość statystyki \(\displaystyle{ \chi^2 = 14,062 < 16,919 = \chi_{0,05} }\)
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95 }\) można przypuszczać, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}, }\) że wariancja karabinów wzór 98a jest równa \(\displaystyle{ 64 cm^2 }\) (odchylenie standardowe wynosi \(\displaystyle{ 8cm }\)).
Hipoteza zerowa \(\displaystyle{ H_{0} }\) zakłada, że wariancja karabinów wzór 98a \(\displaystyle{ \sigma^2 }\) jest równa wariancji hipotetycznej \(\displaystyle{ \sigma^2_{0} = 64 \ \ cm^2 }\)
\(\displaystyle{ H_{0}: \sigma^2 = \sigma^2_{0} = 64 \ \ cm^2 }\)
Hipoteza alternatywna \(\displaystyle{ H_{1} }\) - przeciwstawna najczęściej ma postać
\(\displaystyle{ H_{1}: \sigma^2 > \sigma^2_{0} , }\)
co oznacza, że wariancja karabinów wzór 98a jest większa od hipotetycznej.
Sprawdzianem próby o liczebności \(\displaystyle{ n = 10 }\) oddanych strzałów jest statystyka określona wzorem
\(\displaystyle{ \chi^2 = \frac{(n-1)\hat{S}}{\sigma^2_{0}}. }\)
Wartość tej statystyki dla danych z próby wynosi
\(\displaystyle{ \chi^2 = \frac{(10-1) \cdot10^2}{8^2} \approx 14,062.}\)
Przy założeniu prawdziwości hipotezy \(\displaystyle{ H_{0} }\) statystyka ta ma rozkład dokładny \(\displaystyle{ \chi^2 }\)o \(\displaystyle{ \nu = n-1 = 10 -1 = 9. }\) liczbie swobody.
Obszar krytyczny w rozkładzie tej statystyki dla przyjętej hipotezy alternatywnej wyznaczamy z zależności
\(\displaystyle{ P(\{\chi^2 \geq \chi^2_{\alpha}\}) = \alpha }\)
\(\displaystyle{ P( \{ \chi^2 \geq \chi^2_{0,05} \}) = 0,05.}\)
Z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2 }\) odczytujemy \(\displaystyle{ \chi^2(9; 0,05) = 16.919. }\)
Wartość statystyki \(\displaystyle{ \chi^2 = 14,062 < 16,919 = \chi_{0,05} }\)
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95 }\) można przypuszczać, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}, }\) że wariancja karabinów wzór 98a jest równa \(\displaystyle{ 64 cm^2 }\) (odchylenie standardowe wynosi \(\displaystyle{ 8cm }\)).