zmienna losowa

[patryk_k]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ t}\) ma rozkład t-Studenta o \(\displaystyle{ n}\) stopniach swobody. Dla \(\displaystyle{ n = 12,\ 33,\ 41}\) obliczyć
prawd. zdarzenia, \(\displaystyle{ t > 0,73}\);

czy dotarłem do poprawnych rozwiązań?
dla \(\displaystyle{ n=12}\)
\(\displaystyle{ 0,7257}\)
dla \(\displaystyle{ n=33}\)
\(\displaystyle{ 0,7517}\)
dla \(\displaystyle{ n=41}\)
\(\displaystyle{ 0,7549}\)

[janusz47]

Według programu R v.3.6.0

Kod: Zaznacz cały

> pt(0.73,12)
[1] 0.7603004
> pt(0.73,33)
[1] 0.7647296
> pt(0.73, 41)
[1] 0.7652296

[patryk_k]

Dzięki wielkie, jeszcze mam pytanie po co w zasadzie przechodzi się (standaryzuje) z innych rozkładów na rozkład normalny?

[janusz47]

Inne rozkłady, można przybliżać standaryzowanym rozkładem normalnym\(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1), }\) (stosując odpowiednie twierdzenia), który jest rozkładem prostym w użyciu i rozkładem stablicowanym.

[patryk_k]

Dobrze, a co robie źle jeżeli mam dane 12 stopni swobody oraz rozkład t-studenta i chcę obliczyć \(\displaystyle{ P(t>0,73)}\):

\(\displaystyle{ t \approx N(0,1.0955)= \frac{(0.73-0)}{1.0955} =0.6664 }\) sprawdzam w tablicach rozkładu normalnego i dla wartości \(\displaystyle{ 0.6664}\) jest \(\displaystyle{ 0.7454}\) więc \(\displaystyle{ 1-0.7454=0.2546}\)

[janusz47]

Dla dużych prób, rozkład Studenta można przybliżać standaryzowanym rozkładem normalnym.

Ten zapis jest nie do przyjęcia.

Skąd \(\displaystyle{ T \sim \mathcal{N}(0, 1,0955)?}\)

[patryk_k]

dla rozkładu t-studenta znalazłem, że \(\displaystyle{ EX=0}\)natomiast \(\displaystyle{ D ^{2}X= \sqrt{\frac{n}{n-2} } }\) stąd:
\(\displaystyle{ EX=0 }\) i \(\displaystyle{ D ^{2}X= \sqrt{\frac{12}{10}} = 1.0955 }\)

[janusz47]

Skąd to przybliżenie ?



\(\displaystyle{ D(X) = \sqrt{D^2(X)} = \sqrt{\frac{n}{n-2}} ? }\)

[patryk_k]

Ups pomyliłem się, bez pierwiastka powinno być tak?

[janusz47]

Skąd ta równość?

[patryk_k]

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=VjGj3FwaYdk&list=WL&index=2&t=693s

druga minuta

[janusz47]

Tak jak napisałem wyżej, odchylenie standardowe, to pierwiastek kwadratowy z wariancji

\(\displaystyle{ D(X) = \sqrt{D^2(X)}. }\)

Rozkład Studenta o \(\displaystyle{ n }\) stopniach swobody przybliżamy rozkładem normalnym o parametrach \(\displaystyle{ \mathcal{N}\left( 0, \sqrt{\frac{n}{n-2}}\right) }\)

W Twoim przykładzie zmienną losową \(\displaystyle{ T }\) o rozkładzie Studenta z \(\displaystyle{ n = 12 }\) stopniami swobody możemy aproksymować rozkładem normalnym

\(\displaystyle{ \mathcal{N}\left( 0, \sqrt{\frac{12}{12-2}}\right) = \mathcal{N}\left( 0, \sqrt{\frac{12}{10}}\right) \approx \mathcal{N}( 0, 1,095). }\)

Aby móc obliczyć wartość prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ \{ T > 0,73 \} }\)

\(\displaystyle{ P(\{ T> 0,73\} ) }\) - stosujemy wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego i przeprowadzamy standaryzację, po to, by móc odczytać wartość dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1) }\), której wartości można odczytać z tablicy, bądź posługując się programem komputerowym na przykład \(\displaystyle{ R. }\)

\(\displaystyle{ P(\{ T> 0,73 \}) = 1 - P(\{ T \leq 0,73\}) = 1 - P\left( \left\{ Z \leq \frac{0,73 -0}{1,095} \right \} \right) \approx \\ \approx 1 - P(\{ Z \leq 0,6667 \}) \approx 1 - \phi( 0,6667) \approx 0.2525.}\)

R

Kod: Zaznacz cały

> P = 1 - pnorm(0.6667)
> P
[1] 0.2524819

[patryk_k]

Dziękuję za pomoc