wartosc oczekiwana używając gęstości vs całkując

[rivit]

Chce policzyć wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ W}\).

\(\displaystyle{ f(w,z) = \begin{cases} 8wz, &0 < w < z < 1 \\ 0, &wpp\end{cases} }\)

\(\displaystyle{ w}\) ograniczone z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\), z góry przez \(\displaystyle{ z}\)
\(\displaystyle{ z}\) ograniczone z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\), z góry przez \(\displaystyle{ 1}\)


licze gęstość \(\displaystyle{ W}\), żeby móc skorzystac z wzorku:
\(\displaystyle{ E\left( W\right) = \int_{- \infty }^{ \infty } w \cdot f_W(w, z) dw }\)

\(\displaystyle{ f_W\left( w\right) = \int_{w}^{1} 8wz = 4w-4w^3 }\)

i teraz liczę wartość oczekiwaną z wzoru powyżej:

\(\displaystyle{ E\left( W\right) = \int_{0}^{ z} w \cdot f_W(w, z) dw = 4 \left( \frac{1}{3} z^3 - \frac{1}{5} z^5 \right) }\)

Czuje, że granica całkowania powinna być do \(\displaystyle{ 1}\), a nie do \(\displaystyle{ z}\). Jednak nie rozumiem dlaczego tak miałoby być (wtedy wychodzi poprawna odpowiedź\(\displaystyle{ \frac{8}{15} }\)). Czy do tego wzoru bierzemy jakby cały przedział, który może przyjąć \(\displaystyle{ w}\)?

Prosze o wyjaśnienie, pozdrawiam!

[janusz47]

Gęstość brzegowa \(\displaystyle{ f_{W}(w) }\) wektora losowego \(\displaystyle{ (W, Z) }\) policzona poprawnie, brak pod całką \(\displaystyle{ dz.}\)

\(\displaystyle{ f_{W}(w) = \int_{w}^{1}f_{(W,Z)}(w,z) dz = 4(w-w^3) }\).

Zauważ, że muszą zachodzić nierówności:

\(\displaystyle{ 4w(1-w^2) >0 \rightarrow 4w(1-w)(1+w) >0 \rightarrow w \in (0, 1) }\)

Dlatego wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ W }\) liczymy całką w granicach od zera do jedynki


\(\displaystyle{ E_{W}(w) = \int_{0}^{1}w\cdot f_{W}(w,z)dw = ... }\)

[rivit]

Rozumiem, ale skąd się wzięła ta nierówność?
Ja myślałem, że patrzymy sobie z dziedziny jakie maksymalne wartości moze przyjąć \(\displaystyle{ w}\)

[janusz47]

Z własności funkcji gęstości i jej zakresu wartości.

[Dasio11]

Zauważ, że muszą zachodzić nierówności:

\(\displaystyle{ 4w(1-w^2) >0 \rightarrow 4w(1-w)(1+w) >0 \rightarrow w \in (0, 1) }\)

Dlatego wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ W }\) liczymy całką w granicach od zera do jedynki

To oczywista bzdura, co można sprawdzić choćby podstawiając \(\displaystyle{ w = -2}\). Poza tym, przedział całkowania bierze się z tego że wyliczony wzór na gęstość działa tylko na przedziale \(\displaystyle{ (0, 1)}\), i nie ma on nic wspólnego z analitycznymi własnościami owego wzoru. W szczególności: nie ma w tym kontekście żadnego znaczenia zbiór rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ 4w - 4w^3 > 0}\).

Ja myślałem, że patrzymy sobie z dziedziny jakie maksymalne wartości moze przyjąć \(\displaystyle{ w}\)

W zasadzie tak, a dokładniej: w sytuacji z zadania gęstość \(\displaystyle{ W}\) określa wzór

\(\displaystyle{ f_W(w) = \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(w, z) \, \dd z}\).

Dla ustalonego \(\displaystyle{ w}\):

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli \(\displaystyle{ w \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)}\), to funkcja podcałkowa (pojedynczej zmiennej \(\displaystyle{ z}\)) jest stale równa zeru, więc \(\displaystyle{ f_W(w) = 0}\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) W przeciwnym wypadku funkcja podcałkowa jest zerowa poza przedziałem \(\displaystyle{ (w, 1)}\), na którym przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 8wz}\). Wtedy

\(\displaystyle{ f_W(w) = \int \limits_{w}^{1} 8wz \, \dd z = 4w - 4w^3}\).


Zatem dokładniejszy wzór na gęstość to

\(\displaystyle{ f_W(w) = \begin{cases} 4w - 4w^3 & \text{gdy } w \in (0, 1) \\ 0 & \text{w przeciwnym przypadku} \end{cases}}\)

Podstawiając do wzoru na wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ W}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E} W = \int \limits_{-\infty}^{\infty} w \cdot f_W(w) \, \dd w}\),

dostajemy

\(\displaystyle{ \ldots = \int \limits_{0}^{1} w \cdot \big( 4w - 4w^3 \big) \, \dd w}\).


Podsumować można tak: we wzorze

\(\displaystyle{ f_W(w) = \int \limits_{w}^{1} 8wz \, \dd z}\)

wyliczaną wartością jest gęstość zmiennej \(\displaystyle{ W}\) w punkcie \(\displaystyle{ w}\), dlatego zarówno granica całkowania, jak i funkcja podcałkowa mogą zależeć od \(\displaystyle{ w}\). Ale w formule

\(\displaystyle{ \mathbb{E} W = \int \limits_{-\infty}^{\infty} w \cdot f_W(w) \, \dd w}\)

liczona wielkość nie zależy już od żadnego parametru, dlatego nie ma nawet sensu, aby granicą całkowania było \(\displaystyle{ z}\), które nie wiadomo czym jest.

[janusz47]

Jakie wartości może przyjmować funkcja gęstości? Powtarzasz Pan wzór wcześniej wyprowadzony na gęstość brzegową .

[Dasio11]

Jakie wartości może przyjmować funkcja gęstości?

Nieujemne - i co z tego wynika?

Powtarzasz Pan wzór wcześniej wyprowadzony na gęstość brzegową .

I co w związku z tym?

[janusz47]

Ograniczenie wartości na funkcję brzegową gęstości \(\displaystyle{ f_{W} }\) wynika z treści zadania . Przytoczył Pan w rozwiązaniu nierówności \(\displaystyle{ w = -2, }\) bo nie podałem ograniczenia \(\displaystyle{ w \in \langle 0 , 1 ). }\) -

W związku z tym przyznaję, że sprawdzanie nierówności było niewłaściwe.