rozklad zmiennej y = sgn x

[rivit]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną o gęstości \(\displaystyle{ f_{X} }\). Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = \mathrm{sgn} \, X}\).


\(\displaystyle{ F_Y\left( y\right) = F_Y\left( Y \le y\right) = F_Y ( \mathrm{sgn} \, X \le y )}\)

W tym momencie mi przystawiło, jak zamiast \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X}\) miałem np. \(\displaystyle{ X^2}\) to wyznaczałem sobie \(\displaystyle{ X}\).
Jak to dalej pchnąc?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ F_Y\left( y\right) = F_Y\left( Y \le y\right) = F_Y ( \mathrm{sgn} \, X \le y )}\)

Powinno być:

\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y \le y) = P( \mathrm{sgn} \, X \le y )}\).

Teraz zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in (-\infty, 1)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest niemożliwe,
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in [-1, 0)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest równoważne \(\displaystyle{ X < 0}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in [0, 1)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest równoważne \(\displaystyle{ X \le 0}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in [1, \infty)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest zawsze prawdziwe.

Stąd widzimy, że

\(\displaystyle{ F_Y(y) = \begin{cases} 0 & \text{dla } y \in (-\infty, 1) \\ P(X < 0) & \text{dla } y \in [-1, 0) \\ P(X \le 0) & \text{dla } y \in [0, 1) \\ 1 & \text{dla } y \in [1, \infty) \end{cases}}\)

Mamy przy tym \(\displaystyle{ P(X = 0) = 0}\), czyli \(\displaystyle{ P(X < 0) = P(X \le 0) = \int \limits_{-\infty}^0 f_X(x) \, \dd x}\). Ostatecznie więc

\(\displaystyle{ F_Y(y) = \begin{cases} 0 & \text{dla } y \in (-\infty, 1) \\ \int \limits_{-\infty}^0 f_X(x) \, \dd x & \text{dla } y \in [-1, 1) \\ 1 & \text{dla } y \in [1, \infty) \end{cases}}\)

[rivit]

\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in (-\infty, 1)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest niemożliwe,

Rozumiem, że tu powinno być (i potem też):
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in (-\infty, -1)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest niemożliwe,


Jakie to proste, dzięki wielkie!

edit:
właśnie jeszcze pytanie co do drugiej kropki
czy tam nie powinno być domknięty przedział? bo gdy \(\displaystyle{ y = 0}\) to \(\displaystyle{ sgn 0 = 0}\)

[Dasio11]

Rozumiem, że tu powinno być (i potem też):
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in (-\infty, -1)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest niemożliwe,

Słusznie.

właśnie jeszcze pytanie co do drugiej kropki
czy tam nie powinno być domknięty przedział? bo gdy \(\displaystyle{ y = 0}\) to \(\displaystyle{ sgn 0 = 0}\)

Nie - dla \(\displaystyle{ y = 0}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y \iff X \le 0}\),

gdybyś zaś było jak proponujesz, to musiałoby zachodzić

\(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y \iff X < 0}\),

co nie jest prawdą dla \(\displaystyle{ X = 0}\).

[rivit]

Masz rację, dziękuje