Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną o gęstości \(\displaystyle{ f_{X} }\). Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = \mathrm{sgn} \, X}\).
\(\displaystyle{ F_Y\left( y\right) = F_Y\left( Y \le y\right) = F_Y ( \mathrm{sgn} \, X \le y )}\)
W tym momencie mi przystawiło, jak zamiast \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X}\) miałem np. \(\displaystyle{ X^2}\) to wyznaczałem sobie \(\displaystyle{ X}\).
Jak to dalej pchnąc?
rozklad zmiennej y = sgn x
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: rozklad zmiennej y = sgn x
Powinno być:
\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y \le y) = P( \mathrm{sgn} \, X \le y )}\).
Teraz zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in (-\infty, 1)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest niemożliwe,
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in [-1, 0)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest równoważne \(\displaystyle{ X < 0}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in [0, 1)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest równoważne \(\displaystyle{ X \le 0}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in [1, \infty)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest zawsze prawdziwe.
Stąd widzimy, że
\(\displaystyle{ F_Y(y) = \begin{cases} 0 & \text{dla } y \in (-\infty, 1) \\ P(X < 0) & \text{dla } y \in [-1, 0) \\ P(X \le 0) & \text{dla } y \in [0, 1) \\ 1 & \text{dla } y \in [1, \infty) \end{cases}}\)
Mamy przy tym \(\displaystyle{ P(X = 0) = 0}\), czyli \(\displaystyle{ P(X < 0) = P(X \le 0) = \int \limits_{-\infty}^0 f_X(x) \, \dd x}\). Ostatecznie więc
\(\displaystyle{ F_Y(y) = \begin{cases} 0 & \text{dla } y \in (-\infty, 1) \\ \int \limits_{-\infty}^0 f_X(x) \, \dd x & \text{dla } y \in [-1, 1) \\ 1 & \text{dla } y \in [1, \infty) \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 163
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: rozklad zmiennej y = sgn x
Rozumiem, że tu powinno być (i potem też):
\(\displaystyle{ \bullet}\) jeśli \(\displaystyle{ y \in (-\infty, -1)}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y}\) jest niemożliwe,
Jakie to proste, dzięki wielkie!
edit:
właśnie jeszcze pytanie co do drugiej kropki
czy tam nie powinno być domknięty przedział? bo gdy \(\displaystyle{ y = 0}\) to \(\displaystyle{ sgn 0 = 0}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: rozklad zmiennej y = sgn x
Słusznie.
Nie - dla \(\displaystyle{ y = 0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y \iff X \le 0}\),
gdybyś zaś było jak proponujesz, to musiałoby zachodzić
\(\displaystyle{ \mathrm{sgn} \, X \le y \iff X < 0}\),
co nie jest prawdą dla \(\displaystyle{ X = 0}\).