Ukryta treść:
Wartość oczekiwana
-
Przybyl
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Wartość oczekiwana
Dzień dobry. Piszę ten post dla upewnienia się. Mianowicie chciałem zapytać, czy jest może jakiś konkretny wzór aby wyliczyć takie zadanie ?
Wyliczam je z drzewka ze względu na małe \(\displaystyle{ n\in[0,3]}\) i dla upewnienia się, że nie robię błędu. Czy jest może jakiś jednak pomysł na wzór ogólny ?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wartość oczekiwana
Trywialnie to wychodzi po prostym skorzystaniu z warunkowej wartości oczekiwanej, aczkolwiek można to ominąć odpowiednim machaniem rękami. Ustalmy \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\). Niech \(\displaystyle{ x}\) – kwota początkowa przydzielona graczowi po rzucie kostką, \(\displaystyle{ S}\) – końcowa wygrana gracza. Wówczas mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(S)=\sum_{i=1}^{6}\mathbf{E}(S|x=i)\mathbf{P}(x=i)=\sum_{i=1}^{6}\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{n}i\cdot 2^{k}{n\choose k}\frac{1}{2^{n}}\\=\frac{21}{6}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n}=\frac{7}{2}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(S)=\sum_{i=1}^{6}\mathbf{E}(S|x=i)\mathbf{P}(x=i)=\sum_{i=1}^{6}\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{n}i\cdot 2^{k}{n\choose k}\frac{1}{2^{n}}\\=\frac{21}{6}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n}=\frac{7}{2}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n}}\)