Wartość oczekiwana

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Aspik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 5 lip 2018, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy

Wartość oczekiwana

Post autor: Aspik »

Czy zmienna losowa o rozkładzie \(\displaystyle{ F_{1,2} }\) ma skończoną wartość oczekiwaną? Odpowiedź uzasadnij.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wartość oczekiwana

Post autor: Premislav »

A to przecież można względnie łatwo policzyć po prostu…
Rozkład Fishera-Snedecora z parametrami \(\displaystyle{ d_{1}, \ d_{2}}\) ma taką oto funkcję gęstości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\mathrm{B}\left(\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2}\right)}\left(\frac{d_{1}}{d_{2}}\right)^{\frac{d_{1}}{2}}x^{\frac{d_{1}}{2}-1}\left(1+\frac{d_{1}}{d_{2}}x \right)^{-\frac{d_{1}+d_{2}}{2}} 1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ d_{1}, \ d_{2}>0}\).
Jeśli
\(\displaystyle{ \frac{d_{2}}{2}\le 1}\), to łatwo udowodnić, że całka, którą sobie napiszemy z definicji wartości oczekiwanej jest rozbieżna, mianowicie dla dużych \(\displaystyle{ x>0}\) funkcja podcałkowa szacuje się z dołu przez \(\displaystyle{ \frac{C}{x}}\) dla pewnej stałej dodatniej \(\displaystyle{ C}\), a dla \(\displaystyle{ d_{2}>2}\) mamy:
\(\displaystyle{ \int_{\RR}x\cdot \frac{1}{\mathrm{B}\left(\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2}\right)}\left(\frac{d_{1}}{d_{2}}\right)^{\frac{d_{1}}{2}}x^{\frac{d_{1}}{2}-1}\left(1+\frac{d_{1}}{d_{2}}x \right)^{-\frac{d_{1}+d_{2}}{2}} 1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\mathrm{B}\left(\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2}\right)}\left(\frac{d_{1}}{d_{2}}\right)^{\frac{d_{1}}{2}}x^{\frac{d_{1}}{2}}\left(1+\frac{d_{1}}{d_{2}}x \right)^{-\frac{d_{1}+d_{2}}{2}}\mbox{d}x\\=\left|\begin{array}{ccc}u=\frac{\frac{d_{1}}{d_{2}}x}{1+\frac{d_{1}}{d_{2}}x}\\ x=\frac{d_{2}}{d_{1}}\frac{u}{1-u}\\ \mbox{d}x=\frac{d_{2}}{d_{1}}\frac{\mbox{d}u}{(1-u)^{2}}\end{array}\right|=\frac{1}{\mathrm{B}\left(\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2}\right)}\cdot \frac{d_{2}}{d_{1}}\int_{0}^{1}u^{\frac{d_{1}}{2}}(1-u)^{\frac{d_{2}}{2}-2}\mbox{d}u=\frac{d_{2}}{d_{1}}\frac{\mathrm{B}\left(\frac{d_{1}}{2}+1, \frac{d_{2}}{2}-1\right)}{\mathrm{B}\left(\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2}\right)}}\)
Teraz używając zależności
\(\displaystyle{ \mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}\) oraz \(\displaystyle{ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)}\) można jeszcze ten wynik uprościć, tylko pytanie, po co… Osobiście nie odczuwam takiej potrzeby, jak i tak są ułamki, to bety są wystarczająco ładne. :D
Jak się nie chce liczyć dokładnie tej całki, to po zaproponowanym przeze mnie podstawieniu wystarczy oszacować \(\displaystyle{ u(1-u)^{\frac{d_{2}}{2}-1}\le (1-u)^{\frac{d_{2}}{2}-1}, \ u\in (0,1)}\) w przypadku \(\displaystyle{ d_{2}>2}\).

Dodano po 10 minutach 24 sekundach:
Aha, wobec tego, co napisałem, jest już raczej jasne, że odpowiedź na pytanie z zadania jest negatywna.
ODPOWIEDZ